¿Se puede usar esta proposición para probar un enunciado iff?

1. El problema es que el teorema$p\Leftrightarrow a$tiene el requisito de que$p$o$q$debería ser cierto

   • el teorema $$p\Rightarrow a$$ de hecho no es útil cuando$p$es falsa , porque entonces no se puede derivar ninguna conclusión;
   • sin embargo, el teorema $$p\Leftrightarrow a\\\equiv\;\; p\Rightarrow a \;\text{ and }\; a\Rightarrow p \;\text{ and }\; \lnot p\Rightarrow \lnot a \;\text{ and }\; \lnot a\Rightarrow \lnot p,$$ efectivamente está diciendo que$p$y$a$tienen el mismo valor de verdad, por lo que es útil incluso cuando$p$-y consecuentemente,$a$—es falso .

2. Entonces, sí, demostrando

   $$p\Leftrightarrow q$$ es equivalente a probar $$(p \Leftrightarrow a) \;\text{ and }\; (a \Leftrightarrow q).$$

3. Una nota técnica: un lógico estricto interpretaría la afirmación

   $$p\Leftrightarrow a\Leftrightarrow q$$ significar $$p \Leftrightarrow (a \Leftrightarrow q),$$ que no es equivalente a $$(p \Leftrightarrow a) \;\text{ and }\; (a \Leftrightarrow q),$$ que es lo que realmente quieres decir.

Sí tu puedes. Si$p$o$q$sostenga entonces su teorema establece que$p\Leftrightarrow a$y tu otro teorema establece que$a\Leftrightarrow q$. Por otro lado, si ninguno$p$ni$q$se mantiene, entonces esto no crea ningún problema para$p\Leftrightarrow q$. Básicamente tienes:

si tenemos$p$entonces nosotros tenemos$a$y así también$q$. si tenemos$\lnot p$entonces tenemos$\lnot q$, o tenemos$\lnot a$y por lo tanto$\lnot q$.