¿Cómo puedo hacer que las pruebas con fórmulas largas sean más legibles sin sacrificar la claridad?

Question

¿Cómo puedo hacer que las pruebas con fórmulas largas sean más legibles sin sacrificar la claridad?

lógica
notación
Matemáticas
redacción de pruebas
cálculo proposicional

Diez de cuatro

Pregunta

Muchas de las cosas que estoy tratando de probar en este momento se están convirtiendo en un "infierno notacional", lo que creo que las hace muy difíciles de leer. Traté de reducir esto asumiendo que mi lector entenderá qué definiciones están en juego, modularizando mis pruebas y omitiendo la explicación de los pasos que espero que sean obvios. También he intentado volver a etiquetar fórmulas con nombres cortos (es decir, $\def\val#1{V_\pli(#1)}\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\def\pli{\mathscr{I}}\def\aa{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q}\def\ab{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\ns\q}\def\ba{\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\def\bb{\ns\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)):=\,\s Q),$ pero para demostraciones de cualquier extensión parece ser más confuso que útil. ¿Cómo puedo hacer que las pruebas sean más legibles sin sacrificar la claridad?

Prueba de ejemplo

Dejar $\p$ y $\q$ ser wffs y $n\in\mathbb{N}$ (tenga en cuenta que $0\not\in\mathbb{N}$ ). queremos mostrar $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q$ si y si $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))$ .

En (L1) pruebo ambas direcciones del bicondicional, lo cual no creo que deba hacer porque estamos tratando con "=" - ¿es correcto? También creo que (L1) es tan básico que "por inspección" es apropiado, ¿es justo?

Lema 1 (L1)

Queremos mostrar por inducción que para alguna interpretación PL, $\pli,$ $\val{\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$ si y si $\val{\p_n}=\val{\p_{n-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ y $\val{\q}=0$ .

Caso base

Si $\val{\p\to\q}=0$ entonces, por definición, $\val{\p}=1$ y $\val{\q}=0$ . Si $\val{\p}=1$ y $\val{\q}=0$ , entonces, por definición, $\val{\p\to\q}=0$

Hipótesis de Inducción (IH)

Asumir por algún arbitrario $k\in\mathbb{N}$ eso $\val{p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$ y $\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ y $\val{\q}=0$

Paso de inducción

Si $\val{\p_{k+1}\to(p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)))}=0,$ Entonces, como sabemos $\val{p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$ de la (IH), $\val{\p_{k+1}}=1$ . Desde el (IH) $\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ y $\val{\q}=0$ , de este modo $\val{\p_{k+1}}=\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ y $\val{\q}=0$
Dejar $\val{\p_{k+1}}=1$ . Desde el (IH) $\val{\p_k}=\val{\p_{k-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1,$ $\val{\q}=0,$ y $\val{p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0,$ de este modo $\val{\p_{k+1}\to(p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)))}=0$

Prueba de Primera Dirección (P1)

Para reductio, supongamos que no es el caso que $\aa\implies\ba$
De (1) se sigue que existe un $\def\pli{\mathscr{I}}\pli$ tal que $\def\aa{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q}\def\ab{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\ns\q}\def\ba{\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\def\bb{\ns\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}\aa$ y $\bb$
De (2) se sigue que $\def\val#1{V_\pli(#1)}\val{\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}=0$
Desde (L1), la valoración sobre (3) sólo puede ocurrir cuando $\val{\p_n}=\val{\p_{n-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ y $\val{\q}=0$
De (4) se sigue que $\ab$ , que contradice (2) y prueba nuestra primera dirección

Prueba de Segunda Dirección (P2)

Para reductio, supongamos que no es el caso que $\ba\implies\aa$
De (1) se sigue que existe un $\pli$ tal que $\ba\text{ and }\ab$
De (2) tenemos $\ab$ , de este modo, $\val{\p_n}=\val{\p_{n-1}}=\cdots=\val{\p_1}=1$ y $\val{\q}=0$
De (3) y (L1) se sigue que $\bb\text{,}$ que contradice (2) y prueba nuestra segunda dirección

(P1) y (P2) prueban ambas direcciones del bicondicional, por lo tanto $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q$ si y si $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))\,\square.$

pancini

¿Por qué no necesitarías probar ambas direcciones de un bicondicional? ¿Por qué quieres/esperas que la prueba sea corta?

Diez de cuatro

@Elliot G, para la igualdad "x=y e y=x", así que prueba "x=y" y obtenemos "y=x" gratis, demostrando ambas direcciones, al menos lo haríamos si fuera una prueba de PL y pudiera estar seguro de que podría tratar "=" como una relación. Además, la longitud de la prueba no es el problema, es la notación que dificulta la lectura, ese es el problema :(

usuario2628206

si algo es 'lo suficientemente obvio' como para no requerir prueba depende de la audiencia / lectores objetivo. Este es un juicio que debes hacer. Decir que demasiados resultados son obvios realmente puede disuadir a los lectores más débiles de su texto, así que tenga cuidado con la forma en que su tono se transmite al lector. Además, si está trabajando con muchas fórmulas lógicas, ¿ha considerado introducir un sistema de deducción?

matemático antiguo

Lo que me desconcierta es "En (L1) demuestro ambas direcciones del bicondicional, lo cual no creo que deba hacer porque estamos tratando con "

=

$=$ ". No puedo ver ninguna

=

$=$ en cualquier lugar.

Diez de cuatro

@ user2628206, ese es un buen punto "lo suficientemente obvio". En cuanto a la segunda parte, las pruebas que estoy haciendo actualmente son principalmente meta-lógicas y semánticas, por lo que necesitaría probar el sistema de deducción y, como sería novedoso, corro el riesgo de hacer las cosas más confuso. Sin embargo, pensé en extender las tablas de verdad 🤔

Diez de cuatro

@antiguo matemático, el "=" proviene de la función de valoración.

V (P \to Q) = 1

$V(P\to Q)=1$ si y si

V (P) = 0

$V(P)=0$ o

V (Q) = 1

$V(Q)=1$ . He indicado esto con "por definición" en el caso base. Claramente, mi suposición sobre lo que es obvio no es correcta 😞

matemático antiguo

OK veo. Pero las dos cosas que tienes que mostrar equivalentes son diferentes por lo que la simetría de

=

$=$ es irrelevante.

matemático antiguo

También estaría desconcertado por su uso de

:=

$:=$ . Me parece que quieres usar

Q

$Q$ como abreviatura de la implicación larga anidada. Pensé que eso sería hecho por

Q := \dots

$Q:=\dots$ y no

\dots := Q

$\dots:=Q$ . y creo que

Q

$Q$ debiera ser

Q_{n}

$Q_n$ .

MJD

Gracias por incluir su ejemplo largo y detallado en su pregunta. Sin eso, no podría haber escrito una respuesta detallada y específica.

Diez de cuatro

@antiguo matemático, debería haber sido "Q:=..." eso fue un pedo cerebral 😆. Supongo que mi pensamiento es porque solo hay 1 forma de que un condicional sea falso,

[V (P \to Q) = 0] = [V (P) = 1 \land V (Q) = 0]

$[V(P\to Q)=0]=[V(P)=1\land V(Q)=0]$ , demostrando que ambos

V (P \to Q) = 0

$V(P\to Q)=0$ conduce a la conjunción deseada, y la conjunción deseada conduce a

V (P \to Q) = 0

$V(P\to Q)=0$ parece redundante. Si había varias opciones, entonces seguro. De todos modos, si no funciona, entonces no funciona. Gracias por tu tiempo :)

joseperrito

A veces, usar una variable intermedia puede ayudar. No estoy seguro si se aplica a esta situación.

infinitocero

"He tratado de reducir esto asumiendo que mi lector entenderá qué definiciones están en juego , modularizando mis pruebas y omitiendo la explicación de los pasos que espero que sean obvios ". Por favor, no hagas esto. Como estudiante de posgrado, esto es lo que desprecio absolutamente. Si es nuevo en un campo, no sabe qué definiciones están en juego y lleva una eternidad encontrarlas. Además, a menos que sea muy obvio, escribe lo que está pasando. Evita que el lector piense 10 minutos en un paso que podría resultar obvio. Un buen documento es de fácil acceso, no críptico más allá de cualquier medio.

Respuestas (1)

¿Cómo puedo hacer que las pruebas con fórmulas largas sean más legibles sin sacrificar la claridad?

¿Por qué no necesitarías probar ambas direcciones de un bicondicional? ¿Por qué quieres/esperas que la prueba sea corta?
@Elliot G, para la igualdad "x=y e y=x", así que prueba "x=y" y obtenemos "y=x" gratis, demostrando ambas direcciones, al menos lo haríamos si fuera una prueba de PL y pudiera estar seguro de que podría tratar "=" como una relación. Además, la longitud de la prueba no es el problema, es la notación que dificulta la lectura, ese es el problema :(
si algo es 'lo suficientemente obvio' como para no requerir prueba depende de la audiencia / lectores objetivo. Este es un juicio que debes hacer. Decir que demasiados resultados son obvios realmente puede disuadir a los lectores más débiles de su texto, así que tenga cuidado con la forma en que su tono se transmite al lector. Además, si está trabajando con muchas fórmulas lógicas, ¿ha considerado introducir un sistema de deducción?
Lo que me desconcierta es "En (L1) demuestro ambas direcciones del bicondicional, lo cual no creo que deba hacer porque estamos tratando con " $=$ ". No puedo ver ninguna $=$ en cualquier lugar.
@ user2628206, ese es un buen punto "lo suficientemente obvio". En cuanto a la segunda parte, las pruebas que estoy haciendo actualmente son principalmente meta-lógicas y semánticas, por lo que necesitaría probar el sistema de deducción y, como sería novedoso, corro el riesgo de hacer las cosas más confuso. Sin embargo, pensé en extender las tablas de verdad 🤔
@antiguo matemático, el "=" proviene de la función de valoración. $V(P\to Q)=1$ si y si $V(P)=0$ o $V(Q)=1$ . He indicado esto con "por definición" en el caso base. Claramente, mi suposición sobre lo que es obvio no es correcta 😞
OK veo. Pero las dos cosas que tienes que mostrar equivalentes son diferentes por lo que la simetría de $=$ es irrelevante.
También estaría desconcertado por su uso de $:=$ . Me parece que quieres usar $Q$ como abreviatura de la implicación larga anidada. Pensé que eso sería hecho por $Q:=\dots$ y no $\dots:=Q$ . y creo que $Q$ debiera ser $Q_n$ .
Gracias por incluir su ejemplo largo y detallado en su pregunta. Sin eso, no podría haber escrito una respuesta detallada y específica.
@antiguo matemático, debería haber sido "Q:=..." eso fue un pedo cerebral 😆. Supongo que mi pensamiento es porque solo hay 1 forma de que un condicional sea falso, $[V(P\to Q)=0]=[V(P)=1\land V(Q)=0]$ , demostrando que ambos $V(P\to Q)=0$ conduce a la conjunción deseada, y la conjunción deseada conduce a $V(P\to Q)=0$ parece redundante. Si había varias opciones, entonces seguro. De todos modos, si no funciona, entonces no funciona. Gracias por tu tiempo :)
A veces, usar una variable intermedia puede ayudar. No estoy seguro si se aplica a esta situación.
"He tratado de reducir esto asumiendo que mi lector entenderá qué definiciones están en juego , modularizando mis pruebas y omitiendo la explicación de los pasos que espero que sean obvios ". Por favor, no hagas esto. Como estudiante de posgrado, esto es lo que desprecio absolutamente. Si es nuevo en un campo, no sabe qué definiciones están en juego y lleva una eternidad encontrarlas. Además, a menos que sea muy obvio, escribe lo que está pasando. Evita que el lector piense 10 minutos en un paso que podría resultar obvio. Un buen documento es de fácil acceso, no críptico más allá de cualquier medio.

MJD · Answer 1

Sugerencia principal

En lugar de

queremos mostrar $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q$ si y si $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))$

inténtalo así:

queremos mostrar que
$\begin{matrix} (1) & ϕ_{1}, ϕ_{2}, \dots, ϕ_{norte} ⊨_{ES} ψ \end{matrix}$ $\def\p{\phi}\def\q{\psi}\def\s{\vDash_{\tiny\text{PL}}}\def\ns{\nvDash_{\tiny\text{PL}}}\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q \tag{1}$ si y solo si $\begin{matrix} (2) & ⊨_{ES} ϕ_{norte} \to (ϕ_{norte - 1} \to (\dots \to (ϕ_{1} \to ψ) \dots)) . \end{matrix}$ $\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots)).\tag{2}$

Después de eso, en lugar de repetir las fórmulas largas cada vez, simplemente llámelas $(1)$ y $(2)$ :

Para reductio, supongamos que no es el caso que $(2)\implies (1)$ . Entonces debe existir un $\mathscr I$ tal que $(2)$ aguanta pero $(1)$ no es.

Sugerencias menores

Abreviar
$ϕ_{norte} \to (ϕ_{norte - 1} \to (\dots \to (ϕ_{1} \to ψ) \dots))$ $\phi_n\to(\phi_{n-1}\to(\cdots\to(\phi_1\to\q)\cdots))$ como $Φ_{norte} .$ $\Phi_n.$ (No use $Q$ . ¿Por qué usarías?)

En lugar de
$V_{I} ({pag}_{k} \to (ϕ_{k - 1} \to (\dots \to (ϕ_{1} \to ψ) \dots))) = 0$ $V_\mathscr{I}({p_k\to(\p_{k-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))})=0$ ahora puedes escribir $V_{I} ({pag}_{k} \to Φ_{k - 1}) = 0$ $V_\mathscr{I}({p_k\to\Phi_{k-1}})=0$ y el lector no se perderá que la primera variable es una $p$ y no un $\phi$ .

Dijiste que abreviar parece "más confuso que útil". Que no es.
Abreviar $\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_n$ como $\vec\phi$ .
Abreviar
$V_{I} (ϕ_{norte}) = V_{I} (ϕ_{norte - 1}) = \dots = V_{I} (ϕ_{1}) = 1$ $V_\mathscr{I}(\phi_n)=V_\mathscr{I}(\phi_{n-1})=\cdots=V_\mathscr{I}(\phi_1)=1$ como $V_{I} (ϕ_{i}) = 1 (i = 1 \dots norte)$ $V_\mathscr{I}(\phi_i) = 1\quad (i=1\ldots n)$ o quizás $V_{I} (ϕ_{1 \dots norte}) = 1.$ $V_\mathscr{I}(\phi_{1\ldots n}) = 1.$
Estás abreviando las cosas equivocadas. No es necesario abreviar "si y sólo si" como "si", o "Lema 1" como "L1". El objetivo aquí no es eliminar todo el inglés normal de su prueba. Estas abreviaturas son más confusas que útiles.

No haga que el lector compare dos fórmulas largas para asegurarse de que son iguales o para preguntarse por qué no lo son. Diseñe su notación para resaltar las diferencias entre fórmulas similares.

La notación, como el lenguaje, es flexible. No hay reglas; se le permite inventar cosas. $\vec\phi$ no es realmente un vector. No importa. Puedes explicarlo brevemente: “Vamos a abreviar $\phi_1,\phi_2,\ldots,\phi_n$ como $\vec\phi$ .” Nadie se confundirá ni olvidará lo que significa. Mi sugerencia $V_\mathscr{I}(\phi_{1\ldots n})$ no es estándar. No importa; el significado es claro.

Sugerencias ortogonales

No estás usando TeX correctamente. No es necesario seguir repitiendo \defs. Una vez que \defuna nueva secuencia de control, la definición permanece vigente hasta el final del grupo, o el documento. Defina las macros importantes una vez, al principio del archivo o en un \includearchivo d.

Definir mejores macros. La estructura de las macros debe seguir la estructura sintáctica de sus fórmulas. En lugar de escribir

\def\aa{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\s\q}
\def\ab{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n\ns\q}
\def\ba{\s\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))}  
\def\bb{\ns\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\q)\cdots))

inténtalo de esta manera:

\def\ps{\p_1,\,\p_2,\,\ldots,\,\p_n}
\def\aa{\ps\s\psi}
\def\ab{\ps\ns\psi}
\def\pformn{\p_n\to(\p_{n-1}\to(\cdots\to(\p_1\to\psi)\cdots))}
% now you don't need \ba or \bb, just use \s\pformn and \ns\pformn

Esta es una respuesta brillante, muchas gracias por tomarse el tiempo para ayudar. Probaré con una reescritura. Dejando de lado la vergüenza, estaba agregando "\def" a medida que avanzaba, pero luego edité masivamente, lo que rompió el formato cuando publiqué la pregunta, así que hice una copia y pega rápidas. Estoy en Android, así que estoy usando stackexchange como ide, que no es el mejor
Yo simpatizo. Mi propio TeX en la respuesta no fue lo que habría escrito si hubiera estado preparando un artículo con un editor real. Y gracias nuevamente por tomarse el tiempo y la molestia de hacer una buena pregunta, sin la cual no podría haber escrito una buena respuesta.
Sugeriría encarecidamente ser muy conservador o cuidadoso, o al menos limitar en gran medida el alcance del uso, al numerar fórmulas o ecuaciones. Si está haciendo referencia a muchas fórmulas numeradas, esto llevará un tiempo descifrarlo en el mejor de los casos. Además, al abreviar cosas, también sugeriría tratar de seguir la notación típica lo más cerca posible. Si está abreviando algo de una manera que es contraria a la intuición dada la notación típica, eso podría confundir a los lectores, y la notación estándar reduce el esfuerzo necesario para comprender lo que está escrito.
““Abreviaremos ϕ1,ϕ2,…,ϕn como ϕ⃗.” Nadie se confundirá ni olvidará lo que significa.” He visto un caso de esto. Recuerdo particularmente leer que Lotfi Zadeh (y algunas personas que lo leyeron) usaría el símbolo de la 's' larga de Leibniz, con el que la gente está familiarizada por los textos de cálculo, PERO Zadeh no estaba anotando una integral, sino una unión (de conjuntos borrosos) . Aunque un autor comentó que era una mala notación, no parecía que nadie estuviera confundido por la notación de Zadeh ya que él la había explicado.
yo no inventé el $\vec\phi$ cosa de toda la tela; Lo he visto usado de manera similar en otros lugares, por ejemplo en Introducción a Barendregt $\lambda$ -Cálculo . Así es como pude tener tanta confianza al declarar "Nadie se confundirá". A pesar de mi afirmación de que “tienes permitido inventar cosas”, la única de mis sugerencias que está inventada es $V(\phi_{1\ldots n})=1$ . Creo que este es un buen ejemplo de cómo se ve una invención razonable. Los matemáticos principiantes a menudo se preocupan por si su notación está "permitida", cuando la preocupación adecuada es "¿puede entenderse?"

¿Cómo puedo hacer que las pruebas con fórmulas largas sean más legibles sin sacrificar la claridad?

Diez de cuatro

Pregunta

Prueba de ejemplo

Lema 1 (L1)

Prueba de Primera Dirección (P1)

Prueba de Segunda Dirección (P2)

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matemático antiguo

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matemático antiguo

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Sugerencias ortogonales

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MJD

Bernardo Barker

Doug Spoonwood

MJD

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¿Diferencia entre ⟹⟹\color{red}{\implies}, ⟸⟸\color{red}{\Longleftarrow} y ⟺⟺\color{red}{\Longleftrightarrow} y cuándo usan cada uno?

Si P entonces Q es verdadero y también lo es P. Entonces Q no es necesariamente verdadero, ¿verdad?

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