Si no hay atmósfera en un planeta que gira sobre un eje y se lanza un cohete "hacia arriba" desde su superficie,

Asumiré que ser lanzado "hacia arriba" significa que la fuerza ejercida sobre el cohete está a lo largo de una línea entre el cohete y el centro del planeta. También supondré que el cohete comienza en el "ecuador" del planeta, es decir, su vector de posición relativo al centro del planeta es perpendicular al eje de rotación del planeta.

Lo que esto significa es que no hay un momento de torsión neto que actúe sobre el cohete con respecto al centro del planeta, lo que significa que su momento angular con respecto al centro del planeta debe ser constante. Además, el cohete continuará orbitando sobre el mismo eje que tenía antes de ser lanzado.

El momento angular en este caso está dado por

$$L=mr^2\omega$$ dónde$m$es la masa del cohete,$r$es la distancia a la que se encuentra el cohete del centro del planeta, y$\omega$es la velocidad angular del cohete con respecto al centro del planeta.

El cohete comienza en la superficie del planeta a una distancia$R$del centro del planeta con una velocidad angular de$\omega_0$. Por lo tanto, el momento angular inicial es

$$L_0=mR^2\omega_0$$

Una vez que el cohete se enciende,$r$será una función creciente del tiempo$r(t)$. Como se conserva el momento angular, tenemos

$$L=L_0$$ $$mr^2\omega=mR^2\omega_0$$

O, resolviendo para$\omega$en función del tiempo

$$\omega(t)=\left(\frac{R}{r(t)}\right)^2\omega_0$$

Por lo tanto, a medida que el cohete se mueve hacia arriba, su velocidad angular disminuirá. Por lo tanto, no puede permanecer en el mismo lugar sobre el planeta. Tendría que haber alguna fuerza adicional tangencial a la órbita para hacer que la velocidad angular permanezca constante, aumentando así el momento angular a medida que el cohete se mueve hacia arriba.

Todo depende de lo que sea "hacia arriba", y también de la ubicación del complejo de lanzamiento. Pongámoslo en el ecuador en un planeta progrado. Cuando el cohete sube, la guía tendrá que tener en cuenta la fuerza de Coriolis que empuja el cohete hacia el oeste para mantenerlo por encima de la plataforma de lanzamiento. Eso requerirá aumentar la velocidad hacia el este para que la velocidad angular permanezca fija en una revolución por día (sideral).

Si el cohete alcanza la altura de la órbita geosíncrona (y no tiene velocidad vertical), seguirá orbitando directamente sobre la plataforma.

Tenga en cuenta que la presencia o falta de atmósfera no tiene relación conceptual con este problema.