¿Qué es relevante para la teoría de Yang-Mills por debajo de d=4d=4d = 4?

Hay dos formas de escribir el lagrangiano para Yang-Mills, que se diferencian por la escala del campo de Yang-Mills. Los teóricos sofisticados tienden a escribir

S = ∫ d d X 1 4 mi 2 tr ( F 2 )
mientras que las personas que hacen cálculos prácticos tienden a escribir
S = ∫ d d X 1 4 tr ( F 2 ) .
Esta es una diferencia totalmente trivial; solo está absorbiendo un factor de mi en el campo

Sin embargo, en menos de cuatro dimensiones esto cambia totalmente el comportamiento infrarrojo de la teoría, porque la dimensión de masa de mi es positivo. En la configuración 'práctica', el término cinético es marginal, por lo que permanece igual bajo el flujo de grupo de renormalización, como cualquier otra teoría. Para d < 4 el acoplamiento mi es relevante, haciéndose más fuerte en el infrarrojo al igual que lo hace en d = 4 cromodinámica cuántica.

Pero en la configuración de la 'teoría', el término cinético es irrelevante para d < 4 , ya que su coeficiente tiene una dimensión de masa negativa, lo que significa que en el infrarrojo la teoría no tiene grados de libertad de propagación. Me dijeron que el único término que obtienes en d = 3 es el término de Chern-Simons, y terminamos con una teoría de campo topológica que se parece completamente a la cromodinámica cuántica.

¿Cómo puede un simple cambio de escala del campo conducir a conclusiones tan diferentes? ¿Es una de estas opciones simplemente inválida? ¿Cuál de estas configuraciones describe lo que sucedería realmente en d < 4 ?

Respuestas (2)

Es útil hacer una distinción notacional más fuerte. Voy a trabajar en la teoría abeliana de Maxwell-Chern-Simons, ya que las no linealidades solo oscurecen lo que está pasando. Escribamos la acción 'teoría' como:

S ( A ) = 1 gramo 2 ∫ d A ∧ ∗ d A + k ∫ A ∧ d A .

Aquí la dimensión de masa [ A ] = 1 y [ gramo ] = 1 2 . Si hacemos la sustitución A = gramo B , obtenemos la versión 'práctica':

S ′ ( B ) = S ( A ) = ∫ d B ∧ ∗ d B + gramo 2 k ∫ B ∧ d B

dónde [ B ] = 1 2 . (También alteramos las transformaciones de calibre: A ↦ A + d α se convierte B ↦ B + 1 gramo d α . Y esta transformación cambia la forma de los observables, enviando el bucle de Wilson mi X pag ( ∮ A ) a mi X pag ( gramo ∮ B ) .)

Esto es, como observas, solo un cambio de variable en la integral de trayectoria. No pasó nada, no se cambió la física.

El flujo de renormalización se define (incluso para la primera versión de la acción) mediante la integración de cortes y el reescalado para fijar la normalización del término cinético. No hay interacciones, por lo que la renormalización equivale a escalar. La constante de acoplamiento gramo es pequeño en el UV y grande en el IR. Esto significa que el término de Chern-Simons es relativamente poco importante en distancias cortas, pero domina al término de Maxwell en distancias largas. Entonces, si está estudiando la teoría en el IR, es una buena idea volver a las variables de "teoría", donde el término de Maxwell desaparece y los observables del bucle de Wilson no contienen una constante de acoplamiento. gramo que se dirige al infinito.

Entonces, no hay contradicción. Ambas acciones predicen la misma física en el IR.

Si no me equivoco, un campo vectorial (o escalar) generalmente tiene dimensión de masa ( D − 2 ) 2 . Los derivados siempre tienen dimensión de masa 1. En tres dimensiones, eso significaría F 2 tiene dimensión de masa 6 2 = 3 y mi sería marginal de nuevo? Tal vez debería explicar su configuración "práctica".

Eso es cierto en la convención "práctica". El punto es que en la convención de "teoría" el vector no tiene la dimensión habitual, sino que siempre tiene dimensión 1.
Tenga en cuenta que mi tiene las mismas dimensiones en cualquier convención. En la convención "práctica" la derivada covariante es D = ∂ + i mi A entonces [ mi A ] = 1 y por lo tanto [ mi ] es distinto de cero para d ≠ 4 .
Lo bueno de la normalización de la 'teoría' es que mantiene el límite clásico. En la teoría clásica, se puede integrar A a lo largo de una línea para hacer un bucle de Wilson. En la normalización 'práctica', tendrías que integrar A 2 .
@ user1504 ¿Podría explicarlo un poco más?
Lo siento, un poco vago. El punto es que el operador con dimensión de masa [1/2] no se integra naturalmente a lo largo de las líneas; no escalan correctamente. Para las líneas Wilson, puede integrar gramo A alrededor de un bucle (la elección razonable), o puede integrar A 2 (que tiene la dimensión de masa correcta, correcciones de módulo cuántico).
¿Qué es relevante para la teoría de Yang-Mills por debajo de d=4d=4d = 4?
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v