Si el momento angular corresponde al momento lineal, ¿qué corresponde a la energía?

En relatividad especial, el impulso es parte de un vector de 4 con energía como componente de tiempo como dijiste correctamente. El momento angular no es parte de un cuadrivector. El producto cruzado que usó en la pregunta no da un vector cuando se generaliza de 3 a 4 dimensiones. En cambio, da una matriz antisimétrica. Entonces, el momento angular es parte de un tensor de rango 2 antisimétrico (una matriz) que tiene seis componentes independientes. El vector de momento angular del espacio 3d forma tres de esos componentes y los otros tres componentes forman otro vector 3d, por lo que funciona de manera diferente a un vector de 4.

En 3d, un tensor antisimétrico es un doble de un vector, por lo que pensamos en el momento angular como un vector como un momento, pero en el espacio-tiempo 4d, un tensor antisimétrico es un doble de otro tensor antisimétrico y no puede considerarse equivalente a un 4. -vector. Esto es obvio porque el número de componentes es diferente.

Para comprender cuáles son los otros 3 componentes de esta matriz antisimétrica, debe observar la relación entre las cantidades conservadas y la simetría tal como se entiende a través del teorema de Noether. La energía y el momento corresponden a la simetría bajo traslaciones en el tiempo y el espacio, pero el momento angular es simetría bajo rotaciones. En rotaciones de relatividad especial y combinadas con impulsos de Lorentz para formar el grupo de seis parámetros de transformaciones de Lorentz. Entonces, su pregunta es equivalente a preguntar qué cantidad conservada corresponde a los aumentos de Lorentz. Esto ha sido respondido aquí antes Ver allí para los detalles, pero en resumen es el centro de masa en un tiempo fijo.

Primero, tenga cuidado al asumir que un sistema cerrado con cantidad de movimiento lineal incluye necesariamente cantidad de movimiento angular. Para hacer la pregunta que está tratando de hacer, debe tener cuidado de que realmente tenga una analogía uno a uno. Dado que es fácil construir sistemas de momento lineal que tienen momentos angulares muy pequeños, la analogía que acabas de sugerir no es del todo correcta.

Sin embargo, comprender el sistema cerrado más simple posible con momento angular ayuda a analizar su pregunta. Considere, por ejemplo, dos partículas que se acercan entre sí. Si en su punto de máxima aproximación las partículas chocan, es decir, si sus trayectorias son exactamente coaxiales, entonces el momento angular del sistema cerrado es cero. Por el contrario, si habrá alguna separación entre las dos partículas en el momento del acercamiento más cercano, el sistema tiene un momento angular. Explicaré a continuación por qué esto es importante para su pregunta.

Da la casualidad de que es más preciso (y convencional) comparar la energía de la masa en reposo no con el momento angular, sino con el momento lineal. De hecho, si expresas la masa en reposo como$mc$, obtienes las mismas unidades que el impulso. Incluso puede interpretar vagamente la cantidad$mc$como el impulso de un objeto de masa$m$moviéndose a través del tiempo a velocidad$v=c$.

Entonces, usando eso, permítame modificar su pregunta ligeramente para mantener las analogías correctamente alineadas:

Si el momento lineal (masa que se mueve en el espacio) corresponde a la energía (masa que se mueve en el tiempo), ¿a qué corresponde el momento angular (dos masas que se mueven en direcciones opuestas con separación en el espacio) en el dominio del tiempo?

El problema, por supuesto, es que en la física clásica, todo se mueve en la misma dirección en el tiempo, lo que hace imposible establecer el escenario de dos partículas moviéndose en sentido opuesto necesario para crear el ejemplo clásico más simple posible de momento angular. ¿Significa eso que la analogía simplemente se rompe y que simplemente no hay un equivalente del momento angular en el dominio del tiempo?

No exactamente.

Si conoce los diagramas de Feynman, piense en el caso de un rayo gamma que se divide en dos medios bucles, uno que avanza en el tiempo (un electrón) y el otro que retrocede en el tiempo (un positrón). Lo mejor que puedo decir, estos pequeños bucles representan ejemplos virtuales del equivalente temporal del momento angular, ya que incluyen dos electrones que se mueven en direcciones opuestas en el tiempo, con una distancia de separación pequeña pero finita entre ellos. Esos son los ingredientes para el momento angular, pero con las trayectorias de las partículas moviéndose en direcciones opuestas en el tiempo, en lugar de en el espacio.

No sé si hay un nombre específico para esta cantidad similar al momento angular que se crea de manera muy transitoria por tales bucles. ¿Quizás alguien más aquí lo hace? Tampoco sé si esta cantidad existe en una forma más permanente. Por ejemplo, cuando un rayo gamma que pasa cerca de un núcleo pesado se divide en un electrón real y un positrón real, ¿el par resultante de partículas reales y persistentes tiene asociada una cantidad nombrada que es equivalente al momento angular en el dominio del tiempo? ¿Y esa cantidad estaría relacionada de alguna manera con el campo eléctrico entre las partículas que se genera al mismo tiempo? De nuevo, no lo sé. Tal vez alguien más aquí lo haga.

Es posible que desee ver la analogía de una manera diferente. La energía es la parte temporal del 4-momentum mientras que el momento lineal es su parte espacial. La conservación de la energía es consecuencia de la homogeneidad del tiempo, mientras que la conservación del momento es consecuencia de la homogeneidad del espacio.

Si estaba interesado en saber si el producto de cuña de 4 posiciones y 4 impulsos también se conserva, puede consultar el documento http://panda.unm.edu/Courses/Finley/P495/TermPapers/relangmom.pdf lo que explica cómo la conservación del momento angular implica un movimiento uniforme del centroide de un sistema de partículas. El centroide se define teniendo en cuenta una equivalencia de masa y energía.

Sí. No hay solo una "energía" asociada con un objeto, hay energía de traslación y energía de rotación . Considere un objeto cuyo centro de masa está estacionario, pero gira. No se mueve por el espacio, pero claramente tiene energía cinética. Esta es la energía cinética de rotación, que está relacionada con la velocidad angular de la misma manera que la velocidad lineal:

En una colisión elástica, la energía cinética de rotación se conserva separadamente de la energía cinética de traslación.

Del mismo modo, también hay energía potencial rotacional (considere un trompo o un juguete de cuerda, por ejemplo).