¿Por qué no se consideran las dinámicas de LxLxL_x, LyLyL_y en el caso de un movimiento de cuerpo rígido alrededor del eje zzz?

Question

¿Por qué no se consideran las dinámicas de LxLxL_x, LyLyL_y en el caso de un movimiento de cuerpo rígido alrededor del eje zzz?

esfuerzo de torsión
Física
momento angular
mecanica-newtoniana
dinámica de cuerpo rígido
dinámica-rotacional

Solidificación

Considere un cuerpo rígido no plano que gira alrededor de un eje fijo (digamos, el eje Z, elegido verticalmente). Deja que el origen $O$ se elige en algún lugar del eje Z. Dejar $\textbf{r}_i$ representan el vector de posición del $i^{th}$ partícula del cuerpo rígido. Entonces, por definición, el momento angular del cuerpo con respecto a $O$ es dado por

L = \sum_{i} {metro}_{i} r_{i} \times (\vec{ω} \times r_{i}) = \sum_{i} {metro}_{i} [r_{i}^{2} \vec{ω} - (r_{i} \cdot \vec{ω}) r_{i}] .

$\textbf{L}=\sum\limits_{i}m_i\textbf{r}_i\times(\vec{\omega}\times\textbf{r}_i)=\sum\limits_{i}m_i[r_i^2\vec{\omega}-(\textbf{r}_i\cdot\vec{\omega})\textbf{r}_i].$ Desde

\vec{ω} = ω \hat{k},

$\vec{\omega}=\omega \hat{k},$

L = \sum_{i} {metro}_{i} ω [- (z_{i} X_{i}) \hat{i} + (- z_{i} y_{i}) \hat{j} + (X_{i}^{2} + y_{i}^{2}) \hat{k}] .

$\textbf{L}=\sum\limits_{i}m_i\omega[-(z_ix_i)\hat{i}+(-z_iy_i)\hat{j}+(x_i^2+y_i^2)\hat{k}].$ La componente Z del momento angular es

L_{z} = \sum_{i} m_{i} d_{i}^{2} ω = I ω

$L_z=\sum\limits_{i}m_id_i^2\omega=I\omega$ suele ser tratado con especial importancia, (también para

τ_{z} = \frac{d L_{z}}{d t} = I \dot{ω}

$\tau_z=\frac{dL_z}{dt}=I\dot{\omega}$ ).

¿Por qué la dinámica de los otros componentes, $L_x$ y $L_y$ , no considerados (en libros de texto de nivel escolar como Halliday, Resnick y Walker) a pesar de que son distintos de cero, y pueden cambiar si una fuerza $\textbf{F}$ se aplica en una dirección arbitraria (porque el par $\vec{\tau}=\textbf{r}\times\textbf{F}$ tendrá, en general, todos los componentes distintos de cero)?

Aarón

Probablemente porque no aplicarán ningún torque que no esté en el

z

$z$ dirección, por lo que es irrelevante a nivel pedagógico

usuario167453

¿Debería enfatizar que está hablando de un objeto grumoso al azar, ya que todos hemos crecido con un sesgo hacia las situaciones simétricas al aprender física? Además, en HRW y similares, no entrarán en más detalles que ilustra su publicación si creen que han hecho su punto y que las preguntas del examen se simplificarán.

Solidificación

Todo lo que necesito para enfatizar que estoy hablando de un objeto tridimensional.

Aarón

Ah, lo siento, estaba confundido y asumí que elegiste el

z

$z$ eje como un eje de simetría o a lo largo de un vector propio del tensor de inercia. ¿Puede ser más preciso sobre lo que quiere decir exactamente con "no se considera la dinámica de los otros componentes"?

Solidificación

@Aaron ¿Qué pasa con las ecuaciones?

τ_{x} = I_{x z} \dot{ω} - I_{y z} ω^{2}

$\tau_x=I_{xz}\dot{\omega}-I_{yz}\omega^2$ y

τ_{y} = I_{y z} \dot{ω} + I_{x z} ω^{2}

$\tau_y=I_{yz}\dot{\omega}+I_{xz}\omega^2$ que se obtienen tomando derivadas de

L

$\textbf{L}$ tiempo real t.

Aarón

Sin su libro de texto específico, no puedo comentar si hay o no un error en su libro, pero sospecho que en todos sus ejemplos solo funcionan con el tensor de inercia después de diagonalizarlo, en cuyo caso los otros componentes se desacoplarían y serían irrelevantes. Por lo tanto, sería suficiente aislar un eje especial para sus propósitos, a saber, el

z

$z$ -eje. En el caso general, tiene razón en que las otras piezas deberían importar, por supuesto.

Solidificación

@Aaron ¿Por qué no debería importar si el movimiento se trata de un eje fijo? Si el movimiento es sobre el eje z

ω_{x} = ω_{y} = 0

$\omega_x=\omega_y=0$ , y

ω_{z} = ω

$\omega_z=\omega$ . Mi resultado sigue entonces como un caso especial de la fórmula

L = I \vec{ω}

$\textbf{L}=\textbf{I}\vec{\omega}$ dónde

I

$\textbf{I}$ es el tensor de inercia. Y no estoy hablando de ningún eje principal en absoluto.

Aarón

Permítanme enfatizar que no creo que haya nada malo con su derivación y que no puedo verificar si hay algún error en su libro de texto porque no lo tengo. Solo estoy tratando de explicar potencialmente por qué su libro de texto elige aislar el

z

$z$ componente, lo cual es probable porque están eligiendo

z

$z$ estar a lo largo de un eje principal. Dado que siempre puede elegir su base a lo largo de los componentes principales, resulta que esta es una forma suficiente de pensar en todas las rotaciones. ya que puedes tratar cada componente de forma independiente

Solidificación

@Aaron Puede ser. Puedes pensar en el caso en el que un cuerpo cúbico gira alrededor de uno de sus bordes. En este caso, el eje de rotación no es ningún eje principal. :-)

Respuestas (1)

¿Por qué no se consideran las dinámicas de LxLxL_x, LyLyL_y en el caso de un movimiento de cuerpo rígido alrededor del eje zzz?

Probablemente porque no aplicarán ningún torque que no esté en el $z$ dirección, por lo que es irrelevante a nivel pedagógico
¿Debería enfatizar que está hablando de un objeto grumoso al azar, ya que todos hemos crecido con un sesgo hacia las situaciones simétricas al aprender física? Además, en HRW y similares, no entrarán en más detalles que ilustra su publicación si creen que han hecho su punto y que las preguntas del examen se simplificarán.
Todo lo que necesito para enfatizar que estoy hablando de un objeto tridimensional.
Ah, lo siento, estaba confundido y asumí que elegiste el $z$ eje como un eje de simetría o a lo largo de un vector propio del tensor de inercia. ¿Puede ser más preciso sobre lo que quiere decir exactamente con "no se considera la dinámica de los otros componentes"?
@Aaron ¿Qué pasa con las ecuaciones? $\tau_x=I_{xz}\dot{\omega}-I_{yz}\omega^2$ y $\tau_y=I_{yz}\dot{\omega}+I_{xz}\omega^2$ que se obtienen tomando derivadas de $\textbf{L}$ tiempo real t.
Sin su libro de texto específico, no puedo comentar si hay o no un error en su libro, pero sospecho que en todos sus ejemplos solo funcionan con el tensor de inercia después de diagonalizarlo, en cuyo caso los otros componentes se desacoplarían y serían irrelevantes. Por lo tanto, sería suficiente aislar un eje especial para sus propósitos, a saber, el $z$ -eje. En el caso general, tiene razón en que las otras piezas deberían importar, por supuesto.
@Aaron ¿Por qué no debería importar si el movimiento se trata de un eje fijo? Si el movimiento es sobre el eje z $\omega_x=\omega_y=0$ , y $\omega_z=\omega$ . Mi resultado sigue entonces como un caso especial de la fórmula $\textbf{L}=\textbf{I}\vec{\omega}$ dónde $\textbf{I}$ es el tensor de inercia. Y no estoy hablando de ningún eje principal en absoluto.
Permítanme enfatizar que no creo que haya nada malo con su derivación y que no puedo verificar si hay algún error en su libro de texto porque no lo tengo. Solo estoy tratando de explicar potencialmente por qué su libro de texto elige aislar el $z$ componente, lo cual es probable porque están eligiendo $z$ estar a lo largo de un eje principal. Dado que siempre puede elegir su base a lo largo de los componentes principales, resulta que esta es una forma suficiente de pensar en todas las rotaciones. ya que puedes tratar cada componente de forma independiente
@Aaron Puede ser. Puedes pensar en el caso en el que un cuerpo cúbico gira alrededor de uno de sus bordes. En este caso, el eje de rotación no es ningún eje principal. :-)

cris · Answer 1

La dinámica de cuerpos rígidos en general es bastante complicada, por lo que los libros de texto de bajo nivel como HRK tienden a simplificar las cosas. En particular, siempre es posible elegir un conjunto de ejes (llamados "ejes principales") tal que $\vec L=I_xω_x\hat{i}+I_yω_y\hat{j}+I_zω_z\hat{k}$ , que en tu caso da $\vec L$ en el $\hat{k}$ dirección. Su libro probablemente esté eligiendo implícitamente estos ejes principales como el sistema de coordenadas.

¿Por qué no se consideran las dinámicas de LxLxL_x, LyLyL_y en el caso de un movimiento de cuerpo rígido alrededor del eje zzz?

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Aarón

usuario167453

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Aarón

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Aarón

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Respuestas (1)

cris

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