¿Se rompe el método de Kepler para determinar el tiempo de vuelo entre dos anomalías verdaderas con excentricidades cercanas a 1?

Como se señaló en los comentarios, ambos métodos pueden fallar. El método de Kepler es matemáticamente exacto, pero tal como se formula aquí, se vuelve mal condicionado a medida que la excentricidad se acerca a 1. Las anomalías media y excéntrica se vuelven indefinidas para una órbita parabólica porque una parábola carece de centro. El método de Numerov/Cowell aproxima el propagador con una serie de Taylor cuya precisión no está garantizada para excentricidades hasta un valor límite de 1.

Para separar estos temas, deberíamos poner el método de Kepler en una forma que permanezca bien condicionada hasta el límite parabólico. Este acondicionamiento adecuado garantizará la precisión del resultado de Kepler, contra el cual se puede comparar el resultado de Numerov/Cowell.

En esta discusión, el tiempo desde el periapsis se usa junto con las conversiones de anomalías que se dan a continuación, las últimas tomadas de Wikipedia :

$t=\sqrt{\dfrac{\alpha^3}{\mu}}M=\sqrt{\dfrac{r_p^3}{(1-e)^3\mu}}M \tag{1}\label{Eq 1}$

$M=E-e\sin E\tag{2}\label{Eq 2}$

$E=2\tan^{-1}\left(\sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}}\tan\dfrac{\theta}{2}\right)\tag{3}\label{Eq 3}$

En la ecuación. 1$r_p$es la distancia del periapsis, que a diferencia del semieje mayor permanece acotado y bien definido hasta (y más allá) de la excentricidad$1$.

Cuando$E$se calcula a partir de$\theta$a través de la ecuación 3 con$e$acercándonos a 1, obtenemos$E$proporcional a$(1-e)^{1/2}$; pero para tener tiempos finitos y acotados la anomalía media$M$debe ser proporcional a$(1-e)^{3/2}$. Por lo tanto, la ecuación. 2 que conecta$M$a$E$está mal condicionado, porque estamos ingresando términos con la proporcionalidad de potencia más baja para obtener una diferencia con la proporcionalidad de potencia más alta.

Llegar$M$en términos de cantidades que tienen la proporcionalidad adecuada para una operación bien condicionada, hacen

$M=E-e\sin E = (E-\sin E)+(1-e)\sin E = ((\sin^{-1}s)-s)+(1-e)s$

dónde$s=\sin E$. Esta ecuación se cumple para$|E|\le\pi/2$correspondiente a$\theta\le 2\tan^{-1}(\sqrt{(1+e)/(1-e))}$. Para anomalías verdaderas más grandes, podemos usar las Ecs. 1-3 directamente porque el mal condicionamiento no surge. A continuación nos centraremos en el caso$\theta\le 2\tan^{-1}(\sqrt{(1+e)/(1-e))}$.

De la ecuación. 3 y la identidad trigonométrica$\sin(2\tan^{-1}u)=2u/(1+u^2)$obtenemos

$s=\dfrac{2\sqrt{\dfrac{1-e}{1+e}}\tan\dfrac{\theta}{2}}{1+\dfrac{1-e}{1+e}\tan^2\dfrac{\theta}{2}}\tag{4}\label{Eq 4}$

Ahora tenemos que abordar$\sin^{-1}s-s$que es proporcional a$s^3$mientras que los términos son proporcionales a$s$. Para eliminar este mal condicionamiento, convierta esta función trascendental en una integral que involucre una algebraica:

$\displaystyle{(\sin^{-1}s)-s=\int_0^s\left(\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}-1\right) dx = \int_0^s\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)}\right) dx\tag{5}\label{Eq 5}}$

Hemos invocado la factorización de la diferencia de cuadrados para racionalizar el numerador, que se deshace de la resta mal condicionada. Esto puede integrarse numéricamente para obtener un resultado bien condicionado a una alta excentricidad. Como la integración es independiente de la órbita, los valores en función de$s$puede almacenarse de antemano en una tabla para su consulta.

Reúna todo esto y obtendremos el tiempo del periapsis para una órbita altamente excéntrica a partir de una versión modificada de la ecuación. 1:

$\displaystyle{t=\sqrt{\dfrac{r_p^3}{\mu}}\left(\dfrac{1}{(1-e)^{3/2}}\int_0^s\left(\dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}(\sqrt{1-x^2}+1)}\right) dx+\dfrac{s}{(1-e)^{1/2}}\right)}\tag{6}\label{Eq 6}$

con$s$determinado a partir de la ecuación. 4.