Problemas para derivar componentes rectangulares de la aceleración del satélite en órbita alrededor de la Tierra con consideración J2

Question

Problemas para derivar componentes rectangulares de la aceleración del satélite en órbita alrededor de la Tierra con consideración J2

ará

Estoy tratando de derivar los componentes rectangulares de aceleración para un satélite en órbita, teniendo en cuenta el achatamiento de la Tierra, para usar el método RK4 para encontrar la posición y la velocidad actualizadas del satélite. Soy consciente de que ya existen ecuaciones , pero quiero saber cómo se derivaron. Sin embargo, mis soluciones no se parecen exactamente a esas ecuaciones; lo que es más importante, la potencia de r en esos conjuntos de ecuaciones y en las ecuaciones de fuerza de wikipedia no son las mismas. Estas ecuaciones tienen $\frac{1}{r^7}$ , mientras que los míos tienen $\frac{1}{r^6}$

Mostraré cómo derivé las ecuaciones, ¡por favor avíseme si cometí un error!

Estoy usando la siguiente ecuación que tomé del documento Casos de prueba de vuelo de la NASA y Fonte 1993 (Implementación del modelo de campo de gravedad 50x50):

tu = - \frac{m}{r} [1 + \sum_{norte = 2}^{\infty} \sum_{metro = 0}^{norte} {(\frac{R_{mi}}{r})}^{norte} {PAG}_{norte, metro} (s i norte ϕ) (C_{norte, metro} C o s (metro λ) + S_{norte, metro} s i norte (metro λ))]

$U = -\frac{\mu }{r}\left [ 1+\sum_{n=2}^{\infty}\sum_{m=0}^{n}\left(\frac{ R_{e}}{r}\right)^{n}P_{n,m}(sin\phi )\left(C_{n,m}cos(m\lambda) +S_{n,m}sin(m\lambda ) \right)\right]$

Sabía que para los armónicos zonales $m=0$ , por lo que la ecuación se ve como

tu = - \frac{m}{r} [1 + \sum_{norte = 2}^{\infty} {(\frac{R_{mi}}{r})}^{norte} {PAG}_{norte, 0} (s i norte ϕ) (C_{norte, 0} C o s (0))]

$U = -\frac{\mu }{r}\left[1+\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{R_{e}}{r}\right)^{n}P_{n,0}(sin\phi )(C_{n,0}cos(0) )\right]$

Entonces resolveré para $n=2$ sabiendo que $C_{n,0}=J_{2}$

Hay una sección debajo de la ecuación 10 bajo las desviaciones del campo gravitatorio de la Tierra de la sección de una esfera homogénea de la página Wiki de Geopotencial que dice

tu = \frac{j_{2} {PAG}_{2}^{0} (s i norte θ)}{r^{3}} = j_{2} \frac{1}{r^{3}} \frac{1}{2} (3 s i {norte}^{2} θ - 1) = j_{2} \frac{1}{r^{5}} \frac{1}{2} (3 z^{2} - r^{2})

$u=\frac{J_{2}P_{2}^{0}(sin\theta )}{r^3}=J_{2}\frac{1}{r^3}\frac{1}{2}(3sin^{2}\theta-1)=J_{2}\frac{1}{r^5}\frac{1}{2}(3z^{2}-r^{2})$

Entonces deduje que

{PAG}_{2, 0} = \frac{1}{r^{2}} \frac{1}{2} (3 z^{2} - r^{2})

$P_{2,0}=\frac{1}{r^2}\frac{1}{2}(3z^{2}-r^{2})$

Entonces la ecuación se ve como

tu = - \frac{m}{r} [1 + {(\frac{R_{mi}}{r})}^{2} (j_{2}) (\frac{1}{r^{2}} \frac{1}{2} (3 z^{2} - r^{2}))]

$U = -\frac{\mu }{r}\left[1+\left(\frac{R_{e}}{r}\right)^{2}(J_{2} )\left(\frac{1}{r^2}\frac{1}{2}\left(3z^{2}-r^{2}\right)\right)\right]$

Luego multipliqué todo y puse la ecuación de esta forma

tu = - m [\frac{1}{r} + \frac{3}{2} j_{2} R_{mi}^{2} z^{2} \frac{1}{r^{5}} - \frac{1}{2} j_{2} R_{mi}^{2} \frac{1}{r^{3}}]

$U = -\mu\left[\frac{1 }{r}+\frac{3}{2}J_{2}R_{E}^{2}z^{2}\frac{1 }{r^5}-\frac{1}{2}J_{2}R_{E}^{2}\frac{1 }{r^3}\right]$

Sabiendo que $F_{x} = -\frac{\partial U}{\partial x}$ y usando $\frac{\partial }{\partial x}r^{-5}=\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5}=-\frac{10x}{r^6}$ etc., y luego reorganizando, obtuve lo siguiente para el componente x (y y):

F_{X} = - \frac{\partial tu}{\partial X} = - \frac{m X}{r^{2}} [2 + \frac{3 j_{2} R_{mi}^{2}}{r^{2}} (\frac{5 z^{2}}{r^{2}} - 1)]

$F_{x} = -\frac{\partial U}{\partial x} = -\frac{\mu x}{r^2}\left[2+\frac{3J_{2}R_{E}^{2}}{r^2}\left(\frac{5z^{2}}{r^2}-1\right)\right]$

Lo cual parece algo familiar a este , pero no lo es exactamente. Intenté hacer esos cálculos tres veces y obtuve la misma respuesta.

Nota al margen: le pregunté a OP de ese hilo, y dijo que obtuvo esas ecuaciones de la Sección 7A de esta competencia

¿Alguien puede decirme qué estoy haciendo mal?

UH oh

¡Parece que ya casi llegas! Echa un vistazo a la sección sobre

J_{2}

$J_2$ en esta respuesta que viene de aquí . Si es lo que necesita, puede responder a su propia pregunta y obtener algunos puntos de reputación. Otra opción sería nominar su pregunta como duplicada de esa pregunta. Aquí duplicado significa que su pregunta se responde allí , no que las preguntas sean idénticas. ¡Bienvenidos al Espacio!

ará

@uhoh Gracias por tu respuesta. Con toda honestidad, las expresiones J2 en esa respuesta me tienen un poco más confundido. Por ejemplo, ¿de dónde provienen los términos x^2 e y^2 y dónde está el rE para esa ecuación? R es de la magnitud de -7 en esas ecuaciones, mientras que es solo de la magnitud de -6 en mis ecuaciones (máximo). El término 3/2 de space.stackexchange.com/questions/24724/… parece corresponder al 1.5 en esas ecuaciones, pero ¿se multiplican por diferentes términos?

UH oh

De acuerdo, miraré más de cerca ahora mismo, solo estoy tomando mi café de la mañana y necesito un minuto para que se active. Las ecuaciones vinculadas funcionan (reproducen la precesión absidal, tienen las unidades correctas, etc.) a menos que haya un error tipográfico .

R_{E}

$R_E$ es un radio terrestre estándar utilizado junto con el producto

G M

$GM$ (también escrito como

μ

$\mu$ ) para generar la forma adimensional de

J_{2}

$J_2$ .

ará

@uhoh Café de la mañana con dos azúcares y un lado de armónicos esféricos. Sí, estoy bastante seguro de que estoy haciendo algo mal o de que me estoy olvidando de hacer algo. Soy nuevo en este campo y me gustaría poder derivar esa ecuación correctamente para saber cómo hacer los términos de orden superior más tarde, o para poder desarmar otras ecuaciones en sus componentes xyz para integrar. Ahora que menciona la forma adimensional de J2, ¿podría tener dimensiones el J2 en las ecuaciones que me vinculó? ¿Cuál es la razón por la que esas ecuaciones se ven diferentes?

UH oh

ok, he publicado una respuesta. ¡Es lo más lejos que iré, pero creo que puedes tomarlo desde allí! Todavía no puedo garantizar que no haya un error de signo menos en alguna parte, intentaré verificarlo nuevamente más tarde en el día.

Respuestas (1)

Problemas para derivar componentes rectangulares de la aceleración del satélite en órbita alrededor de la Tierra con consideración J2

¡Parece que ya casi llegas! Echa un vistazo a la sección sobre $J_2$ en esta respuesta que viene de aquí . Si es lo que necesita, puede responder a su propia pregunta y obtener algunos puntos de reputación. Otra opción sería nominar su pregunta como duplicada de esa pregunta. Aquí duplicado significa que su pregunta se responde allí , no que las preguntas sean idénticas. ¡Bienvenidos al Espacio!
@uhoh Gracias por tu respuesta. Con toda honestidad, las expresiones J2 en esa respuesta me tienen un poco más confundido. Por ejemplo, ¿de dónde provienen los términos x^2 e y^2 y dónde está el rE para esa ecuación? R es de la magnitud de -7 en esas ecuaciones, mientras que es solo de la magnitud de -6 en mis ecuaciones (máximo). El término 3/2 de space.stackexchange.com/questions/24724/… parece corresponder al 1.5 en esas ecuaciones, pero ¿se multiplican por diferentes términos?
De acuerdo, miraré más de cerca ahora mismo, solo estoy tomando mi café de la mañana y necesito un minuto para que se active. Las ecuaciones vinculadas funcionan (reproducen la precesión absidal, tienen las unidades correctas, etc.) a menos que haya un error tipográfico . $R_E$ es un radio terrestre estándar utilizado junto con el producto $GM$ (también escrito como $\mu$ ) para generar la forma adimensional de $J_2$ .
@uhoh Café de la mañana con dos azúcares y un lado de armónicos esféricos. Sí, estoy bastante seguro de que estoy haciendo algo mal o de que me estoy olvidando de hacer algo. Soy nuevo en este campo y me gustaría poder derivar esa ecuación correctamente para saber cómo hacer los términos de orden superior más tarde, o para poder desarmar otras ecuaciones en sus componentes xyz para integrar. Ahora que menciona la forma adimensional de J2, ¿podría tener dimensiones el J2 en las ecuaciones que me vinculó? ¿Cuál es la razón por la que esas ecuaciones se ven diferentes?
ok, he publicado una respuesta. ¡Es lo más lejos que iré, pero creo que puedes tomarlo desde allí! Todavía no puedo garantizar que no haya un error de signo menos en alguna parte, intentaré verificarlo nuevamente más tarde en el día.

UH oh · Answer 1

Comience con la expresión de OP para el potencial gravitatorio

tu = - m [\frac{1}{r} + \frac{3}{2} j_{2} R_{mi}^{2} z^{2} \frac{1}{r^{5}} - \frac{1}{2} j_{2} R_{mi}^{2} \frac{1}{r^{3}}]

$U = -\mu\left[\frac{1 }{r}+\frac{3}{2}J_{2}R_{E}^{2}z^{2}\frac{1 }{r^5}-\frac{1}{2}J_{2}R_{E}^{2}\frac{1 }{r^3}\right]$

se puede reescribir como

tu = - m [\frac{1}{r} + \frac{1}{2} j_{2} R_{mi}^{2} (3 \frac{z^{2}}{r^{5}} - \frac{1}{r^{3}})]

$U = -\mu\left[\frac{1 }{r} + \frac{1}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(3\frac{z^2}{r^5}-\frac{1}{r^3}\right)\right]$

dónde $U$ es el potencial reducido (el potencial de un cuerpo de masa $m$ es entonces $mU$ ) y use

a = \nabla tu = \frac{\partial tu}{\partial X} \hat{X} + \frac{\partial tu}{\partial y} \hat{y} \frac{\partial tu}{\partial z} \hat{z} = a_{X} \hat{X} + a_{y} \hat{y} + a_{z} \hat{z}

$\mathbf{a}=\nabla U = \frac{\partial U}{\partial x} \mathbf{\hat{x}} + \frac{\partial U}{\partial y} \mathbf{\hat{y}} \frac{\partial U}{\partial z} \mathbf{\hat{z}} = a_x \mathbf{\hat{x}} + a_y \mathbf{\hat{y}} + a_z \mathbf{\hat{z}}$

para obtener la aceleración. Haré el componente x con un poco de ayuda de Wolfram alpha :

\frac{\partial}{\partial X} \frac{1}{r} = - \frac{X}{r^{3}},

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r} = -\frac{x}{r^3},$

\frac{\partial}{\partial X} \frac{z^{2}}{r^{5}} = - \frac{5 X z^{2}}{r^{7}},

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{z^2}{r^5} = -\frac{5xz^2}{r^7},$

\frac{\partial}{\partial X} \frac{1}{r^{3}} = - \frac{3 X}{r^{5}} .

$\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r^3} = -\frac{3x}{r^5}.$

Vuelve a ponerlos en $\partial U/ \partial x$ y obtienes:

- m [- \frac{X}{r^{3}} + \frac{X}{2} j_{2} R_{mi}^{2} (- 3 \frac{5 z^{2}}{r^{7}} + \frac{3}{r^{5}})]

$-\mu\left[ -\frac{x}{r^3} + \frac{x}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(-3 \frac{5z^2}{r^7} +\frac{3}{r^5}\right)\right]$

- m [- \frac{X}{r^{3}} + \frac{X}{2} j_{2} R_{mi}^{2} (- 3 \frac{5 z^{2}}{r^{7}} + \frac{3 r^{2}}{r^{7}})]

$-\mu\left[ -\frac{x}{r^3} + \frac{x}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(-3 \frac{5z^2}{r^7} +\frac{3r^2}{r^7}\right)\right]$

- m [- \frac{X}{r^{3}} + \frac{X}{2} j_{2} R_{mi}^{2} (- 3 \frac{5 z^{2}}{r^{7}} + \frac{3 (X^{2} + y^{2} + z^{2})}{r^{7}})]

$-\mu\left[ -\frac{x}{r^3} + \frac{x}{2}J_{2}R_{E}^{2} \left(-3 \frac{5z^2}{r^7} +\frac{3(x^2 + y^2 + z^2)}{r^7}\right)\right]$

En este punto dejaré como ejercicio para el lector combinar términos y llegar a

a_{X} = - GRAMO METRO \frac{X}{| r |^{3}} + GRAMO METRO R_{mi}^{2} j_{2} \frac{X}{| r |^{7}} (6 z^{2} - 1.5 (X^{2} + y^{2}))

$a_x = -GM \frac{\mathbf{x}}{|r|^3} + GM R_E^2 J_2 \frac{x}{|r|^7} (6z^2 - 1.5(x^2+y^2))$

usando $r^2=x^2+y^2+z^2$ , las matemáticas y los enlaces en esta respuesta más la relación entre las formas dimensionales y adimensionales (normalizadas, sin unidades) de $J_2$ descrito en Para la relación matemática entre J2 (km ^ 5 / s ^ 2) y J2 adimensional, ¿cuál se deriva del otro? señalando que $\mu$ es (al menos en este caso) solo otro nombre para el producto $GM$ .

Gracias por su respuesta. Tengo problemas con la forma en que hiciste las derivadas parciales. Se supone que el parcial de r con respecto a x es -2x/r^2 , y esto . Pensé que cuando sacas una derivada solo le restas uno a la potencia y no dos. ¿Hay alguna razón por la que restaste dos?
@arah He aquí cómo pensar en eso. las unidades de $1/r$ son $length^ {-1}$ y por tanto la derivada con respecto a $length$ mejor tener unidades de $length^{-2}$ . Como mencioné en la respuesta, usé Wolfram Alpha para ayudar con la derivada, pero puede hacerlo fácilmente si recuerda que $r=\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$ y hazlo de esa manera. Escribir $\partial \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}/\partial x = \partial (x^2 + y^2 + z^2)^{1/2}/\partial x$ ya partir de allí usa la regla de la cadena .
@arah La expresión en tu primer enlace es $\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r^2}$ , no $\frac{\partial}{\partial x} \frac{1}{r}$ , desde $r$ es $\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}$ , no $x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Similarmente, $\frac{\partial }{\partial x}r^{-5}$ es $\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5/2}=-\frac{5x}{r^7}$ , no $\frac{\partial }{\partial x}(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{-5}=-\frac{10x}{r^6}$ .
¡Hola, sí, me di cuenta de que olvidé agregar la raíz cuadrada! Gracias.

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