¿Se pueden generar todas las transformaciones canónicas usando una función generadora?

En Mecánica Clásica, una transformación de calibre es de la forma

$$\begin{equation} L \to L' = L + \frac{dF(q,t)}{dt} \, . \end{equation}$$ Cualquier transformación de este tipo deja invariante la ecuación de Euler-Lagrange ya que el término adicional$\frac{dF(q,t)}{dt}$aquí simplemente se cae.

Por el contrario, la ecuación de Euler-Lagrange es, en general, solo covariante bajo transformaciones puntuales$q \to Q=Q(q,t)$. Concretamente, la ecuación de Euler-Lagrange se lee en las coordenadas originales

$$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot q,t)}{\partial q}= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot q,t)}{\partial \dot{q}}\right) \end{equation}$$ y en términos de las nuevas coordenadas $$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}'(Q,\dot Q,t)}{\partial Q}= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}'(Q,\dot Q,t)}{\partial \dot{Q}}\right) \end{equation}$$ Pero, en general, tenemos $$\mathcal{L}'(Q,\dot Q,t) \neq \mathcal{L}(Q,\dot Q,t) \, .$$ Por lo tanto, bajo transformaciones de coordenadas generales, la ecuación de Euler-Lagrange mantiene su forma pero no es invariante.

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Ahora, en el formalismo hamiltoniano consideramos las transformaciones del espacio de fase y generalmente nos enfocamos en las transformaciones canónicas. La condición definitoria de la transformación canónica es que las ecuaciones de Hamilton mantengan su forma, es decir, sean covariantes .

Sin embargo, en un segundo paso, las transformaciones canónicas suelen discutirse utilizando las llamadas funciones generadoras. Estos aparecen si derivamos las ecuaciones de Hamilton usando el principio de acción mínima para el Lagrangiano hamiltoniano

$$L_H = p \dot q- H \,.$$ El argumento principal es que si queremos terminar con la misma ecuación si cambiamos de coordenadas, tenemos la condición $$L_H - L_H' = \frac{dF}{dt}$$ $$\therefore \quad p \dot q- H - (P \dot Q- K) = \frac{dF}{dt} \, ,$$ dónde$K= H(q(Q,P),p(Q,P)$es el hamiltoniano en términos de las nuevas coordenadas$Q,P$. En palabras, esto significa que una transformación$q,p \to Q,P$lo que conduce como máximo a un cambio en el hamiltoniano lagrangiano que se puede escribir como una derivada total, produce las mismas ecuaciones de Hamilton.

Sin embargo, según tengo entendido, esta es una condición extremadamente estricta que solo incluye la transformación que deja invariante la ecuación de Hamilton . Pero, como se argumentó anteriormente, solo se requiere una transformación canónica general para dejar sin cambios la forma de las ecuaciones de Hamilton.

Por lo tanto, mi pregunta: ¿Se pueden generar todas las transformaciones canónicas usando una función generadora?

Siguiendo mi razonamiento anterior, parece que dado que para las transformaciones canónicas generales solo requerimos la covarianza de las ecuaciones de Hamilton, estas no están incluidas en el análisis de la función generadora que se basa en la condición de que las ecuaciones de Hamilton sean invariantes.