¿Cuál es la diferencia entre el espacio de configuración y el espacio de fase?

1) El espacio de configuración es, en cierto sentido, las posibles "posiciones" del sistema mecánico. Los estados de movimiento, ej. las velocidades/momentos no son parte del espacio de configuración.

El espacio de configuración (especialmente cuando las restricciones están en la imagen) se modela como algo real,$n$-variedad diferencial dimensional, que denotaré como$\mathcal{C}$.

El espacio de fase de velocidad es el conjunto de todas las "posiciones" y "velocidades" juntas. Si$\mathcal{C}$es el espacio de configuración, entonces el espacio de fase de velocidad tiene naturalmente la estructura del paquete tangente sobre el espacio de configuración,$T\mathcal{C}$. si un punto$p\in\mathcal{C}$se establece, entonces los elementos de la fibra$T_p\mathcal{C}$son las posibles velocidades generalizadas del sistema en el$p$configuración".

Dado que el Lagrangiano depende de posiciones y velocidades, es un campo escalar en$T\mathcal{C}$.

El espacio de fase de cantidad de movimiento, que generalmente se denomina espacio de fase, es el paquete cotangente$T^*\mathcal{C}$. En este caso, la fibra${T_{p}}^*\mathcal{C}$es el conjunto de todos los momentos posibles del sistema en el "$p$configuración".

2) No lo creo, el teorema de Liouville emplea en gran medida el hecho de que el espacio de fase de momento es naturalmente una variedad simpléctica. El espacio de fase de velocidad no es, en general, una variedad simpléctica. Para poder determinar cómo el flujo de fase transforma un volumen, debe tener una estructura que defina el volumen, que en el espacio de fase de momento, la forma simpléctica lo hace, mientras que en el espacio de fase de velocidad, no existe tal estructura canónica.

3) Lamentablemente, no estoy lo suficientemente seguro como para publicar una respuesta definitiva.

1. El punto en el espacio de configuración representa la configuración del sistema, es decir, las posiciones de las partículas constituyentes. El punto en el espacio de fases representa el estado del sistema, es decir, las posiciones y velocidades de las partículas constituyentes juntas.

2. No. El teorema de Liouville no tiene un análogo simple en el espacio de configuración.

3. Depende de cuál sea la tarea en cuestión y cuáles sean las preferencias de la persona que trabaja en ella. El teorema de Liouville juega un papel en la física estadística, por lo que el formalismo hamiltoniano se usa mucho más que el formalismo lagrangiano. También hay casos en los que se utiliza el formalismo hamiltoniano en mecánica; en cálculos astronómicos aproximados (teoría de perturbaciones), en problemas de pequeñas oscilaciones y otros.

   Sin embargo, hay casos en los que es engorroso construir un esquema hamiltoniano a partir del esquema lagrangiano ya disponible o de las ecuaciones de movimiento de Newton (encontrar los momentos y la función hamiltoniana a veces es muy tedioso y, en algunos casos, imposible sin complicaciones adicionales llamadas restricciones) . Si la tarea es obtener algunas ecuaciones de movimiento, a menudo el formalismo lagrangiano o la teoría newtoniana son más fáciles de usar y suficientes.