¿Se puede transformar cada matriz singular en una matriz diagnóstica con solo 0 y 1 a lo largo de la diagonal mediante la multiplicación con una matriz invertible?

Dejar$S=\pmatrix{1 & 1 \\ 1& 1}$. No se puede poner en forma diagonal por multiplicación con una sola matriz invertible. Si$M$es invertible, entonces las filas de$MS$y las columnas de$SM$son múltiplos de$\pmatrix{1\\1}$o$\pmatrix{0&0}$. Por lo tanto, estas matrices solo pueden ser diagonales si fueran cero, pero esto implica$S=0$por invertibilidad de$M$.

Si tal M existe entonces tendremos$S = M^{-1} D$dónde$D$es una matriz diagonal con al menos un cero en la diagonal y, por lo tanto, al menos una columna cero. Esto implicaría que$S$debe tener al menos una columna cero.

Entonces, cualquier matriz singular sin ninguna columna cero será un contraejemplo.