Comprensión de la interpretación visual/geométrica del producto escalar

Question

Comprensión de la interpretación visual/geométrica del producto escalar

matrices
Matemáticas
álgebra lineal
transformaciones lineales

RajS

Estoy tratando de entender la interpretación visual del producto punto del video de la serie 3b1b. Aquí , define el producto punto de la siguiente manera:

producto escalar de $\vec{v}$ y $\vec{w}$ es la multiplicación de la proyección de $\vec{w}$ en $\vec{v}$ y longitud de $\vec{v}$ .

Aquí , da una explicación de cómo el producto escalar se relaciona con las proyecciones.

Esto es lo que puedo hacer con eso:

Tomar el producto escalar de dos vectores para obtener un solo número es similar a aplicar una transformación matricial: $[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix}] . [\begin{matrix} C \\ d \end{matrix}] = [\begin{matrix} a & b \end{matrix}] . [\begin{matrix} C \\ d \end{matrix}] = a . b + C . d$ $\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a & b \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} c \\ d \end{bmatrix} =a.b+c.d$

Dados dos vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ , tracemos una recta numérica que pase por el $\vec{u}$ . Asumamos $\vec{u}$ es un vector unitario denotado por $\hat{u}$ ?

Definición de transformación de proyección La transformación de proyección en esta recta numérica se puede definir de la siguiente manera: Encima de cada punto rosa representa el punto final de un vector.

Entonces, esta transformación de proyección define la proyección de cualquier vector $\vec{v}$ en $\hat{u}$

Tal transformación está completamente definida por la proyección de $\hat{i}$ y $\hat{j}$ en $\hat{u}$ , dónde $\hat{i}$ y $\hat{j}$ son vectores unitarios en $x$ eje y $y$ eje respectivamente, es decir $\hat{i}=\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ y $\hat{j}=\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ . $\hat{i}$ aterrizará en $u_x$ ( $x$ coordenada de $\hat{u}$ ) y $\hat{j}$ aterrizará en $u_y$ ( $y$ coordenada de $\hat{u}$ ).

Por lo tanto, esta transformación de proyección es lo mismo que multiplicar el vector unitario $\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ por $\begin{bmatrix} u_x & u_y \end{bmatrix}$ : $[\begin{matrix} {tu}_{X} & {tu}_{y} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ $\begin{bmatrix} u_x & u_y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$ y de acuerdo con el punto 1, esto es lo mismo que el producto escalar: $[\begin{matrix} {tu}_{X} \\ {tu}_{y} \end{matrix}] . [\begin{matrix} 1 \\ 1 \end{matrix}]$ $\begin{bmatrix} u_x \\ u_y \end{bmatrix} . \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$

(El autor del video explica además cómo esto se puede extender para el vector no unitario $\vec{u}$ , pero esa no es la preocupación de mi duda.)

Entonces, en lo anterior, puedo traducir la transformación de proyección a la multiplicación de matrices y luego al producto escalar de matrices. Pero esto es capaz de traducir "transformación de proyección" (definida en los puntos 3 y 4 anteriores), que supongo, no es exactamente "la multiplicación de proyección de $\vec{w}$ en $\vec{v}$ y longitud de $\vec{v}$ "como se indica en la primera cita. ¿O lo es, pero no puedo percibir? En caso afirmativo, ¿qué me estoy perdiendo? En caso negativo, ¿cómo podemos traducir "multiplicación de proyección de $\vec{w}$ en $\vec{v}$ y longitud de $\vec{v}$ "al producto escalar de $\vec{v}$ y $\vec{w}$ ?

Julio

Hay otra forma de entender esta interpretación visual: el producto escalar

u \cdot v

$u \cdot v$ es el área del paralelogramo formado por u y (v girado 90 grados).

Ben Grossman

En la parte 5, no entiendo nada de lo que has dicho después de "Así,...". Tampoco entiendo ninguna de las preguntas que me haces. Yo tampoco entiendo ninguna de las preguntas. Parece que preguntas si dos cosas son iguales; ¿Cuáles son exactamente las dos cosas que estás preguntando?

RajS

@Jules, ¿cómo es el área del paralelogramo? Específicamente no entendí"

v

$v$ girado 90 grados". Leí que la magnitud del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por

u

$u$ y

v

$v$ .

RajS

@Omnomnomnom Estaba tratando de encontrar cómo "transformación de proyección (

\hat{u} . \vec{v}

$\hat{u}.\vec{v}$ )" es igual a "la multiplicación de la longitud de proyección de

\vec{v}

$\vec{v}$ en

\vec{u}

$\vec{u}$ & longitud de

\vec{u}

$\vec{u}$ (

| v | \times \cos (θ) \times | u |

$|v|\times \cos(\theta)\times |u|$ )". Probé el ejemplo en profundidad y me di cuenta:

\vec{u} . \vec{v} = | u | \times \hat{u} . \vec{v} = | u | \times p = | u | \times | v | \times \cos θ

$\vec{u}.\vec{v}=|u|\times\hat{u}.\vec{v}=|u|\times p=|u|\times |v|\times\cos{\theta}$ . Entonces, ahora, lo único sorprendente es cómo ambas fórmulas para la proyección dan el mismo valor

p = \hat{u} . \vec{v} = | v | \times \cos (θ) \times | u |

$p=\hat{u}.\vec{v}=|v|\times\cos(\theta)\times|u|$ ....(al siguiente comentario)

RajS

(del último comentario) ... Aunque entiendo cuán individualmente significan la proyección, todavía me pregunto si existe alguna relación entre ellos (digamos si podemos obtener una fórmula de otra). También podemos decir,

\cos (θ) \times | v |

$\cos(\theta)\times|v|$ indica la longitud de la proyección del elemento de longitud |v| en ángulo

θ

$\theta$ . Entonces el ángulo se da directamente como

θ

$\theta$ . Pero

\hat{u} . \vec{v}

$\hat{u}.\vec{v}$ significa proyección de

\vec{v}

$\vec{v}$ en la dirección de

\hat{u}

$\hat{u}$ . Entonces, el ángulo no se da directamente, pero se nos dan las direcciones de ambos.

\hat{u}

$\hat{u}$ &

\vec{v}

$\vec{v}$ . (al siguiente comentario...)

RajS

(... del último comentario) También en ambas fórmulas magnitud de solo

\vec{v}

$\vec{v}$ se considera. En la segunda fórmula, solo necesitamos la dirección de

\vec{u}

$\vec{u}$ , por lo tanto, consideramos solo el vector unitario

\hat{u}

$\hat{u}$ que se encuentra a lo largo

\vec{u}

$\vec{u}$ . ( P1. ) ¿Es correcta mi interpretación visual de dos fórmulas? También solo quiero enumerar la pregunta anterior: (P2.) ¿Podemos obtener

\cos (θ) \times | v |

$\cos(\theta)\times |v|$ de

\hat{u} . \vec{v}

$\hat{u}.\vec{v}$ ¿y viceversa?

Respuestas (1)

Comprensión de la interpretación visual/geométrica del producto escalar

Hay otra forma de entender esta interpretación visual: el producto escalar $u \cdot v$ es el área del paralelogramo formado por u y (v girado 90 grados).
En la parte 5, no entiendo nada de lo que has dicho después de "Así,...". Tampoco entiendo ninguna de las preguntas que me haces. Yo tampoco entiendo ninguna de las preguntas. Parece que preguntas si dos cosas son iguales; ¿Cuáles son exactamente las dos cosas que estás preguntando?
@Jules, ¿cómo es el área del paralelogramo? Específicamente no entendí" $v$ girado 90 grados". Leí que la magnitud del producto vectorial es el área del paralelogramo formado por $u$ y $v$ .
@Omnomnomnom Estaba tratando de encontrar cómo "transformación de proyección ( $\hat{u}.\vec{v}$ )" es igual a "la multiplicación de la longitud de proyección de $\vec{v}$ en $\vec{u}$ & longitud de $\vec{u}$ ( $|v|\times \cos(\theta)\times |u|$ )". Probé el ejemplo en profundidad y me di cuenta: $\vec{u}.\vec{v}=|u|\times\hat{u}.\vec{v}=|u|\times p=|u|\times |v|\times\cos{\theta}$ . Entonces, ahora, lo único sorprendente es cómo ambas fórmulas para la proyección dan el mismo valor $p=\hat{u}.\vec{v}=|v|\times\cos(\theta)\times|u|$ ....(al siguiente comentario)
(del último comentario) ... Aunque entiendo cuán individualmente significan la proyección, todavía me pregunto si existe alguna relación entre ellos (digamos si podemos obtener una fórmula de otra). También podemos decir, $\cos(\theta)\times|v|$ indica la longitud de la proyección del elemento de longitud |v| en ángulo $\theta$ . Entonces el ángulo se da directamente como $\theta$ . Pero $\hat{u}.\vec{v}$ significa proyección de $\vec{v}$ en la dirección de $\hat{u}$ . Entonces, el ángulo no se da directamente, pero se nos dan las direcciones de ambos. $\hat{u}$ & $\vec{v}$ . (al siguiente comentario...)
(... del último comentario) También en ambas fórmulas magnitud de solo $\vec{v}$ se considera. En la segunda fórmula, solo necesitamos la dirección de $\vec{u}$ , por lo tanto, consideramos solo el vector unitario $\hat{u}$ que se encuentra a lo largo $\vec{u}$ . ( P1. ) ¿Es correcta mi interpretación visual de dos fórmulas? También solo quiero enumerar la pregunta anterior: (P2.) ¿Podemos obtener $\cos(\theta)\times |v|$ de $\hat{u}.\vec{v}$ ¿y viceversa?

JG · Answer 1

Escribir $\vec{v}$ como la suma de dos piezas, una paralela a $\vec{w}$ denotado $\vec{w}_\parallel$ , la otra perpendicular a $\vec{w}$ denotado $\vec{w}_\perp$ . Entonces

\vec{v} = {\vec{w}}_{∥} + {\vec{w}}_{⊥} ⟹ \vec{v} \cdot \vec{w} = {\vec{w}}_{∥} \cdot \vec{w} ⟹ {\vec{w}}_{∥} = \frac{{\vec{w}}_{∥} \cdot \vec{w}}{\vec{w} \cdot \vec{w}} \vec{w} = \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\vec{w} \cdot \vec{w}} \vec{w} ⟹ {\vec{w}}_{⊥} = \vec{v} - \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\vec{w} \cdot \vec{w}} \vec{w} .

$\vec{v}=\vec{w}_\parallel+\vec{w}_\perp\implies\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{w}_\parallel\cdot\vec{w}\implies\vec{w}_\parallel=\frac{\vec{w}_\parallel\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\vec{w}=\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\vec{w}\implies\vec{w}_\perp=\vec{v}-\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\vec{w}.$ Entonces

{\vec{w}}_{∥}, {\vec{w}}_{⊥}

$\vec{w}_\parallel,\,\vec{w}_\perp$ son únicos, y puedes verificar que funcionan:

{\vec{w}}_{∥}

$\vec{w}_\parallel$ es claramente paralelo a

\vec{w}

$\vec{w}$ , mientras

{\vec{w}}_{⊥} \cdot \vec{w} = \vec{v} \cdot \vec{w} - \frac{\vec{v} \cdot \vec{w}}{\vec{w} \cdot \vec{w}} \vec{w} \cdot \vec{w} = 0

$\vec{w}_\perp\cdot\vec{w}=\vec{v}\cdot\vec{w}-\frac{\vec{v}\cdot\vec{w}}{\vec{w}\cdot\vec{w}}\vec{w}\cdot\vec{w}=0$ entonces

{\vec{w}}_{⊥}

$\vec{w}_\perp$ es perpendicular a

\vec{w}

$\vec{w}$ . Entonces

\vec{v} \cdot \vec{w} = {\vec{w}}_{∥} \cdot \vec{w} = | {\vec{w}}_{∥} | | \vec{w} |

$\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{w}_\parallel\cdot\vec{w}=|\vec{w}_\parallel||\vec{w}|$ , que es simplemente el producto de las longitudes de

\vec{w}

$\vec{w}$ y la parte de

\vec{v}

$\vec{v}$ paralelo a ella.

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RajS

Julio

Ben Grossman

RajS

RajS

RajS

RajS

Respuestas (1)

JG

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