Encuentra la matriz de transformación lineal en otra base

Lo siento pero no estoy de acuerdo con PJK porque los vectores$\varphi(e_1)$,$\varphi(e_1+e_2)$,$\varphi(e_1+e_2+e_3)$, y$\varphi(e_1+e_2+e_3+e_4)$tienen que ser expresados ​​en la nueva base $\langle b_1,b_2,b_3,b_4\rangle$con$b_1= e_1,b_2= e_1+e_2, b_3= e_1+e_2+e_3$y$b_4 = e_1+e_2+e_3+e_4$.

Este proceso de cambiar la base se puede hacer así:

1. Llamar$P$la matriz de la nueva base en la antigua ($b_i$expresada en columnas con respecto a la$e_i$)
2. Llamar$A$la matriz de tu pregunta.
3. la matriz de$\varphi$en la nueva base$\langle b_1,b_2,b_3,b_4\rangle$es: $$B = P^{-1}AP$$

¡Los cálculos son para ti! ;-)

Vemos en la matriz que nos das que: φ(e_1)=1*e_1+3*e_2+2*e_3+1*e_4 φ(e_2)=2*e_1+0*e_2+5*e_3+2*e_4 φ(e_3)=0*e_1+(-1)*e_2+3*e_3+1*e_4 φ(e_4)=1*e_1+2*e_2+1*e_3+3*e_4

porque φ es una función lineal φ(e_1+e_2)=φ(e_1)+φ(e_2) y φ(e_1+e_2+e_3)=φ(e_1)+φ(e_2)+φ(e_3) y φ(e_1+ e_2+e_3+e_4)=φ(e_1)+φ(e_2)+φ(e_3)+φ(e_4)

entonces tienes que calcular: φ(e_1),φ(e_2),φ(e_1+e_2),φ(e_1+e_2+e_3),φ(e_1+e_2+e_3+e_4) y luego escribe como combinación lineal de e_1,e_2,e_1+e_2,e_1+e_2+e_3,e_1+e_2+e_3+e_4 y escribe los coeficientes como columna como te escribí arriba con la otra base