¿Se puede medir la "distancia" entre acordes? ¿Si es así, cómo?

La métrica más simple, y probablemente la más utilizada (aunque solo sea implícitamente), es contar el número de pasos entre las raíces de los acordes a lo largo de una línea unidimensional de quintas .(o el círculo de quintas, si permite enarmónicos y aritmética modular). Digo que este es el que se usa con más frecuencia porque las progresiones de acordes donde la raíz asciende o desciende en una cuarta o una quinta (que tienen una distancia de uno en esta métrica) son las más utilizadas en muchos estilos de música occidental, lo que indica que estos acordes son "cercanos" en algún sentido. En tu progresión, esta métrica produciría distancias de 3, 1, 1, 1. Esta métrica tiene la propiedad de que funciona bien con la música tonal, ya que la relación tónica/dominante que define la tonalidad tiene una distancia de uno. E incluso si comienza a desviarse un poco de los acordes que están en su tono actual, terminará visitando tonos "estrechamente relacionados". Además, debido a que esta métrica analiza solo las raíces, no se preocupa inherentemente por la calidad de los acordes (mayor vs.

Dom ya ha mencionado una segunda métrica posible: el número de tonos comunes (o más precisamente, el número de tonos poco comunes). Cuantos más tonos tienen dos acordes en común, más "cercanos" se consideran. Esto funciona especialmente bien si traza acordes como formas en una cuadrícula de Tonnetz . En este caso, todas tus tríadas se ven como triángulos. Los acordes "más cercanos" según esta métrica son aquellos que comparten dos tonos comunes, lo que resulta en "voltear" gráficamente el triángulo a lo largo de uno de sus tres bordes. Esto implicaría, por ejemplo, que el acorde de Do mayor está igualmente cerca de Do menor, Mi menor y La menor (un solo giro siempre convertirá un mayor en un menor, y viceversa ). En la teoría neo-riemanniana, a este tipo de transformaciones se las nombra incluso: Paralela (P), Leading Tone (L) y Relativa (R), respectivamente. Hay transformaciones más complejas entre acordes que contienen un solo tono común. Ignorando el séptimo por simplicidad, esta métrica le daría a su progresión las siguientes distancias: 1, 2, 2, 2. Esta métrica está menos restringida por la tonalidad y más enfocada en la dirección de voz. Puede explicar más fácilmente la "cercanía" de acordes como C y A♭ que tradicionalmente estarían muy alejados. Como tal, es más adecuado para la música romántica, donde estas progresiones tradicionalmente distantes son más comunes. Esta métrica también se adapta inherentemente a diferentes tipos de acordes.

Hay una métrica aún más compleja que ha sido desarrollada por Dmitri Tymoczko en A Geometry of Music , que involucra orbifolds n-dimensionales, pero no puedo afirmar que esté muy familiarizado con ella. Es muy adecuado para que te olvides de la música y te centres en abstracciones matemáticas.

Poniéndome el sombrero de matemático, la noción de distancia depende de muchos factores. La verdadera pregunta es ¿qué es lo que estás buscando cuando dices distancia? ¿Quiere decir que está buscando una similitud armónica? ¿Te refieres a algún tipo de medida de similitud auditiva? ¿Te refieres a cómo se relacionan en el círculo de quintas?

La construcción de una distancia euclidiana no es realmente relevante ya que está destinada a medir una distancia física. Los argumentos teóricos grupales están destinados a hablar sobre las relaciones entre las progresiones de cuerdas, pero se basan en una red o estructura de celosía. Cuando usamos celosías, tenemos muchas medidas diferentes de distancia, cada una de las cuales tiene un significado relevante para la red que se examina.

También podríamos mirar el constructo de similitud temporal. Aquí escribimos cada acorde en términos de su forma matemática (ondas sinusoidales, etc.) y luego observamos las distancias entre las señales a lo largo del tiempo. Entonces, al final, el uso del término distancia necesita más definición antes de que realmente podamos responder la pregunta.

Esta es una gran parte de la dirección de voz específicamente donde busca tonos comunes entre acordes en la armonía y cómo puede aprovecharlos al hacer la transición entre ellos.

En realidad, no es tanto una fórmula como una evaluación de cuán relacionados están los dos acordes. La idea básica es simplemente mirar qué notas, si es que hay alguna, son comunes y si las notas se mueven por cuánto.

En su ejemplo, C que tiene las notas C-E-Gy A7 que tiene las notas A-C#-E-Gtiene 2 tonos comunes y está relacionado. Si estaba expresando estos acordes en un estilo coral de 4 partes, es posible que vea los dos acordes expresados ​​así:

Como puede ver, 2 de las notas no se mueven. Una nota, en este caso el tenor, se mueve cromáticamente hacia arriba que es muy poco movimiento y la otra que se mueve es la nota baja por 3ra que está un poco más alejada. Sin embargo, debe tener en cuenta que normalmente hay más movimiento en la línea de bajo.

Como dije, no es una fórmula, pero es una muy buena manera de evaluar de lo que estás hablando.

Hay otras formas de definir la "distancia" armónica. Por ejemplo, se podría utilizar la red de 5 límites como un "mapa" en el que el paisaje armónico se despliega por quintas (WE) y terceras (NS). Entonces podríamos rastrear la secuencia de acordes a medida que se mueve, literalmente, en el mapa.

El único problema es el del acorde ii, que cumple una doble función y, de hecho, nos transporta a través del mapa en un instante (desde la subdominante "oeste" a la dominante "este"). (Ver ' Experiencia armónica ' de WA Mathieu, por ejemplo.)

Otra forma, aunque estrechamente relacionada, de ver la distancia es utilizar la teoría neo-riemanniana y el tonnetz . Luego, la distancia podría rastrearse de la misma manera y tal vez definirse como el número de transformaciones necesarias para pasar de un acorde al siguiente.

En el caso de C -> A necesitaríamos dos transformaciones: R y P.

Algunos artículos académicos discuten esta misma pregunta; Voy a resumir dos aquí.

En "Square Dances with Cubes" de Richard Cohn, el autor analiza lo que él llama "sumas dirigidas por voz" (o "DVLS"). Para encontrar el DVLS entre dos acordes, simplemente suma las clases de tonos del primer acorde (mod 12), las clases de tonos del segundo acorde (también mod 12) y resta la primera suma de la segunda.

Por ejemplo, de do mayor a sol mayor, tenemos C E G({0 4 7}, que suma 11) pasando a G B D({7 11 2}, que suma 20, u 8 mod 12). Luego restamos 11 de 8, que es -3, o 9 mod 12; la suma principal de la voz dirigida de do mayor a sol mayor es, por lo tanto, 9. Como era de esperar, esta es una distancia mayor que, por ejemplo, de do mayor (11) a re mayor (5), que tiene un DVLS de 6.

En un artículo similar de Seth Monahan titulado "Voice-Leading Energetics in Wagner's 'Tristan Idiom'", el autor habla de "métricas de desplazamiento cinético" o "KDM". Lo que es importante aquí (y lo que es diferente del DVLS de Cohn) es que Monahan también mide la dirección.

Volvamos al ejemplo donde C mayor se mueve a G mayor. En este caso, podemos entender que hay un G de tono común entre los dos acordes (por lo tanto, un movimiento de 0 semitonos); las otras voces se mueven de C a B y de E a D. Dado que C a B está medio paso hacia abajo (-1) y E a D está hacia abajo un paso completo (-2 medios pasos), sumamos estas distancias para ver que esta progresión tiene un KDM de -3. Al igual que con DVLS de Cohn, un valor absoluto mayor sugiere una mayor distancia entre dos cuerdas.

Para cualquier persona interesada en las realidades cognitivas de estas distancias, sugiero "Perceived Triad Distance: Evidence Supporting the Psychological Reality of Neo-Riemannian Transformations" de Carol Krumhansl.