¿Se puede geometrizar significativamente la lógica?

Descarte ha sido elogiado por juntar la geometría y el álgebra, y su logro permitió la invención del cálculo por parte de Leibniz y Newton y permitió su desarrollo eficaz y explosivo por los matemáticos y físicos posteriores en contraste con los pasos rudimentarios y primitivos tomados por Arquímedes en la integración y la Escuela de Keralan en serie de poder.

Ahora se pueden algebraizar varias lógicas proposicionales:

lógica proposicional clásica -> álgebras booleanas

lógica proposicional intuicionista -> álgebra heyting

lógica modal -> álgebra modal

La pregunta: ¿existe una forma geométrica significativa de estas lógicas? Significativo, simplemente porque no es solo una traducción a la forma geométrica, como en los diagramas de Venn para álgebras booleanas (que primero se representan como un sistema de conjuntos), sino que permite decir algo más profundo sobre la lógica misma.

¿Considerarías que la teoría del topos es geométrica? ¿Qué pasa con el hecho de que los conjuntos abiertos de un espacio son un Heyting?
Sí, lo haría. Es lo que inspiró esta pregunta. Realmente estoy buscando caracterizaciones geométricas alternativas, o dentro de los propios topoi, una forma geométrica significativa de hablar sobre lógica.
Interesante pregunta. Es posible que también desee preguntar esto en math.se (si lo hace, comparta el enlace). Espero con ansias las respuestas tanto aquí como allá.
@Rostomyan: hice la pregunta en math.se siguiendo su sugerencia.

Respuestas (1)

La pregunta: ¿existe una forma geométrica significativa de estas lógicas?

Aquí, "estas lógicas" se refiere a álgebras booleanas, álgebras de Heyting y álgebra modal. Los diversos teoremas de representación de estas álgebras como álgebras de conjuntos relacionadas con ciertos espacios topológicos parecen dar una respuesta positiva a esta pregunta. Estos teoremas de representación no son triviales, ya que son equivalentes al teorema del ideal primo booleano , que no puede derivarse de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección.

Es bien sabido que cada álgebra booleana se puede representar como el álgebra de conjuntos de conjuntos abiertos de su espacio de piedra asociado.

Existen múltiples teoremas de representación estrechamente relacionados para las álgebras de Heyting. Primero tenga en cuenta que un álgebra de Heyting es acotada y distributiva como un retículo, y cada retícula distributiva acotada se puede representar como el álgebra de conjuntos de conjuntos superiores abiertos de su espacio de Priestley asociado. En el caso de un álgebra de Heyting, este espacio de Priestley asociado es un espacio de Esakai , que es un espacio de Priestley para el cual el cierre hacia abajo de cada conjunto cerrado es cerrado. También hay teoremas de representación para redes distributivas acotadas y álgebras de Heyting que usan espacios de Stone por pares en lugar de espacios de Priestley, y teoremas de representación que usan espacios espectrales.

El artículo de wikipedia sobre álgebras modales dice

El teorema de representación de Stone se puede generalizar a la dualidad de Jónsson-Tarski , lo que garantiza que cada álgebra modal se pueda representar como el álgebra de conjuntos admisibles en un marco general modal.

No he tratado de entender esto en detalle, pero algunos autores de wikipedia aparentemente creen que esta es una representación geométrica:

La semántica general de marcos combina las principales virtudes de la semántica de Kripke y la semántica algebraica: comparte la visión geométrica transparente de la primera y la robustez completa de la segunda.

Quería agregar a mi comentario anterior que estoy especialmente ansioso por una respuesta de Thomas Klimpel, pero no quería ponerlo en un aprieto. Gracias.
+1 para una buena respuesta. Sin embargo, soy un poco vago con los marcos: conozco dos tipos de marcos: un marco Kripke que es un conjunto con una relación de accesibilidad y que actúa como un modelo para la lógica modal, y un marco como lo opuesto a un lugar (que es una generalización 'sin sentido' de un espacio topológico). No he asociado los dos juntos antes, ¿estás insinuando que de hecho están conectados?
@MoziburUllah Tienes razón, confundí los marcos de Kripke con marcos de topología sin sentido aquí. La dualidad Jónsson-Tarski se refiere a marcos de Kripke con una estructura adicional y no tiene nada que ver con una topología sin sentido. Entonces, probablemente haya un buen teorema de representación relacionado con los espacios topológicos también para el álgebra modelo.
@Klimpel: pensé que podría haber sido el caso, pero dudé en decirlo, ya que la dualidad Jonsson-Tarski sugiere, por analogía con la dualidad de Stone, que puede haber una forma de interpretar los marcos kripke (con estructura adicional) de alguna manera topológica generalizada.
¿Se puede geometrizar significativamente la lógica?
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