¿Se puede determinar la masa de un objeto en órbita y el objeto en órbita solo por la distancia y la velocidad de la órbita? [duplicar]

No, si solo conoces la distancia entre los objetos y la velocidad orbital relativa del planeta, no puedes determinar su masa. De hecho, si solo conoce la distancia y la velocidad en un momento determinado, no tiene suficiente información para determinar la órbita.

Supongamos que sabemos la distancia$r$y la velocidad orbital relativa$\vec{v}=(v_r,v_T)$de un planeta en un momento dado. Aquí,$v_r=\dot{r}$es la componente de velocidad radial, y$v_T$la componente tangencial. La órbita del planeta tiene dos constantes de movimiento: la energía orbital específica $E$y el momento angular relativo específico $h$:

$$\begin{align} E &= \frac{1}{2}v_{r}^2 + \frac{1}{2}v_{T}^2 - \frac{\mu}{r}= -\frac{\mu}{2a},\\ h^2 &= r^2\,v^2_{T} = \mu a(1-e^2), \end{align}$$ dónde $a$es el semieje mayor de la órbita, $e$es la excentricidad orbital, y $\mu = G(M_\text{p} + M_\text{s})$, con $M_\text{p}$la masa del planeta y $M_\text{s}$la masa de la estrella. Así que tenemos dos ecuaciones y tres incógnitas. $(\mu,a,e)$, en otras palabras, necesitamos información adicional para resolverlos.

Por ejemplo, si suponemos que la órbita es circular, entonces$e=0$, y podemos resolver para$\mu$y$a$. Otra posibilidad es que conozcamos la distancia y la velocidad en dos instancias$t_1$y$t_2$, entonces

$$\frac{1}{2}v_{r}^2(t_1) + \frac{1}{2}v_{T}^2(t_1) - \frac{\mu}{r(t_1)}=\frac{1}{2}v_{r}^2(t_2) + \frac{1}{2}v_{T}^2(t_2) - \frac{\mu}{r(t_2)},$$ y podemos resolver para $\mu$, y, de las dos primeras ecuaciones, sabemos $a$y $e$. Una tercera posibilidad es que conozcamos el período orbital $T$del planeta En ese caso, podemos aplicar la Tercera Ley de Kepler: $$T^2 = (2\pi)^2\frac{a^3}{\mu},$$ que, en combinación con las dos primeras ecuaciones, da como resultado $(\mu,a,e)$. En cualquier caso, sin embargo, sólo podemos derivar $\mu = G(M_\text{p} + M_\text{s})$, es decir, solo conocemos la suma de las masas (que estará dominada por la masa de la estrella).

Si desea derivar la masa del planeta, necesita conocer el movimiento del planeta y la estrella con respecto a su centro de masa común . Si$(r_\text{p},v_{r,\text{p}},v_{T,\text{p}})$y$(r_\text{s},v_{r,\text{s}},v_{T,\text{s}})$son la posición y la velocidad del planeta y la estrella con respecto a su centro de masa común, entonces

$$\begin{align} E_\text{p} &= \frac{1}{2}v_{r,\text{p}}^2 + \frac{1}{2}v_{T,\text{p}}^2 - \frac{\mu_\text{p}}{r_\text{p}}= -\frac{\mu_\text{p}}{2a_\text{p}},\\ h^2_\text{p} &= r^2_\text{p}\,v^2_{T,\text{p}} = \mu_\text{p} a_\text{p}(1-e^2),\\ E_\text{s} &= \frac{1}{2}v_{r,\text{s}}^2 + \frac{1}{2}v_{T,\text{s}}^2 - \frac{\mu_\text{s}}{r_\text{s}}= -\frac{\mu_\text{s}}{2a_\text{s}},\\ h^2_\text{s} &= r^2_\text{s}\,v^2_{T,\text{s}} = \mu_\text{s} a_\text{s}(1-e^2), \end{align}$$ y además, si sabemos $T$, $$T^2 = (2\pi)^2\frac{a^3}{\mu} = (2\pi)^2\frac{a^3_\text{p}}{\mu_\text{p}} = (2\pi)^2\frac{a^3_\text{s}}{\mu_\text{s}}.$$ En principio, estas son cinco ecuaciones con cinco incógnitas. $(\mu_\text{p},\mu_\text{s},a_\text{p},a_\text{s},e)$(en realidad, estas son seis ecuaciones, pero no son independientes; también tenga en cuenta que las excentricidades de las órbitas son las mismas). También $$\begin{align} r &= r_\text{p} + r_\text{s},\\ a &= a_\text{p} + a_\text{s},\\ M_\text{p}r_\text{p} &= M_\text{s}r_\text{s},\\ M_\text{p}a_\text{p} &= M_\text{s}a_\text{s},\\ \mu_\text{p} &= \frac{GM_\text{s}^3}{(M_\text{p} + M_\text{s})^2},\\ \mu_\text{s} &= \frac{GM_\text{p}^3}{(M_\text{p} + M_\text{s})^2}. \end{align}$$ Una vez resueltas las ecuaciones, puedes derivar $a$y $\mu$(usando nuevamente la Tercera Ley de Kepler). Así que tienes $M_\text{p}/M_\text{s}$y $M_\text{p} + M_\text{s}$, para que puedas derivar $M_\text{p}$y $M_\text{s}$por separado.

En la práctica, suele ser demasiado difícil medir$r_\text{p}$y$r_\text{s}$, porque el centro de masa estará muy cerca del centro de la estrella. Pero al medir las velocidades en dos instancias$t_1$y$t_2$, podemos tratar$r_\text{p}$y$r_\text{s}$como incógnitas adicionales y calcularlas también.

Si conoce la distancia entre los dos objetos y la velocidad del objeto en órbita, solo puede determinar la masa del objeto en órbita. Entonces, en el caso de la Tierra y la Luna, si conoce la distancia entre los dos y la velocidad de la Luna, puede determinar la distancia que recorre la Luna en una órbita y cuánto tarda, es decir, el período. A partir del período de la órbita se puede determinar la masa de la Tierra, pero no la masa de la Luna.

Entonces, la respuesta a la pregunta del título es que solo puedes determinar la masa del objeto que está en órbita. Con respecto a la pregunta planteada en el primer párrafo del texto, la masa del objeto que está orbitando no afecta qué tan 'rápido' orbita el otro objeto.