¿Velocidad orbital para una órbita circular?

Creo que estas son dos preguntas separadas que deben abordarse por separado.

1) "¿Por qué no$m$en la primera ecuación?" La masa de un cuerpo cambia la fuerza que actúa sobre él. Pero la masa de un cuerpo también cambia su aceleración. Si aumentas la masa de un objeto, siente una fuerza mayor, pero también es más difícil moverse La ecuación para la fuerza gravitacional es$F = \displaystyle GmM/{r^2}$, mientras que la ecuación para la aceleración es$a = F/m$. Pega dos juntos y obtienes$a = GM/r^2$.

2) "¿Por qué es$m$en la segunda ecuación?" Piensa en la luna y la tierra. ¡La tierra está tirando de la luna, pero la luna también está tirando de la tierra! Los dos cuerpos en realidad orbitan alrededor de su centro de masa común. Esto es importante para el relativo velocidad: necesitamos agregar qué tan rápido está orbitando la tierra a qué tan rápido está orbitando la luna.$m$término.

La velocidad relativa en una órbita circular es de hecho:$v_\text{rel} = \sqrt{ \dfrac{G(m_1+m_2) }{ r_\text{rel}} }$

La velocidad relativa es la suma de la velocidad baricéntrica de cada cuerpo (la velocidad de cada cuerpo con respecto al centro de masa inercial):

Similarmente,$r_\text{rel}$es la separación relativa de los dos cuerpos.

Dónde$r_1$y$r_2$son las distancias de cada cuerpo a su centro de masa mutuo

La velocidad relativa también viene dada por:

La velocidad baricéntrica del cuerpo 2 es entonces:

Esta es la velocidad real del cuerpo 2 en el marco de inercia del baricentro.

La primera ecuación es una aproximación muy cercana ya que m (masa del satélite) << M (masa de la Tierra) por lo que m puede ignorarse. La segunda ecuación es la matemáticamente correcta.