Con respecto a las leyes de distancia de la gravedad de "Una breve historia del tiempo" y por qué la Tierra no cae en el Sol

En "Una breve historia del tiempo", Hawking explica la gravedad newtoniana en el Capítulo 2, Espacio y tiempo. Cuanto más separados están los cuerpos, menor es la fuerza. La atracción gravitacional de una estrella es exactamente un cuarto de la de una estrella similar a la mitad de la distancia. Esto se debe a que, como sabemos, la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos.

Luego viene la parte que me confunde.

Si la ley fuera que la atracción gravitacional de una estrella disminuye más rápido con la distancia, las órbitas de los planetas no serían elípticas, sino que se acercarían en espiral al sol. Si descendiera más lentamente, las fuerzas gravitatorias de las estrellas distantes dominarían sobre las de la Tierra.

No tengo claro cuál es el significado de "bajó más rápido con la distancia". De hecho, la fuerza gravitatoria disminuye con la distancia. Al agregar "más rápido", ¿se refiere a la tasa de cambio de la gravedad con la distancia, que entonces sería la derivada de r − 2 ( r es la distancia) = − 2 ∗ r − 3 . ¿Esto nos dice que la gravedad disminuye más rápido con la distancia? Estoy confundido. ¿Alguien puede explicar lo que está tratando de decir y cómo podemos concluir que esto haría que los planetas giraran en espiral hacia el sol o que las estrellas distantes dominarían sobre eso desde la tierra?

Respuestas (3)

Como dices en tu pregunta, la fuerza gravitacional es proporcional a 1 / r 2 por lo que podemos escribirlo como:

(1) F ∝ 1 r norte

dónde norte = 2 . Cuando Hawking habla de que la gravedad disminuye más rápido con la distancia, quiere decir que en la ecuación (1) norte > 2 , y si la gravedad disminuye más lentamente con la distancia, eso significa norte < 2 . El valor de norte es (al menos hipotéticamente) no necesariamente un número entero.

Hawking se refiere al teorema de Bertrand , que nos dice que tenemos órbitas cerradas estables solo cuando norte = 2 .

Da la casualidad de que la fuerza no es exactamente una ley del cuadrado inverso. Cuando hacemos un cálculo más preciso usando la Relatividad General, encontramos que la fuerza es muy ligeramente diferente de una 1 / r 2 fuerza. La diferencia es pequeña, pero medible, ya que conduce a la precesión anómala de Mercurio .

Puede ser un poco falso describir las desviaciones del mundo real de 1 / r 2 fuerzas como logro norte ≠ 2 ; no obedecen (1) en absoluto. son algo como F = A / r 2 + B / r 3 + o ( r 3 ) .
Pero antes de eso, dijiste " norte no es exactamente igual a dos".

Por "bajó más rápido con la distancia" Hawking quiso decir que la fuerza disminuiría más a medida que aumentaba la distancia, como en la curva roja a continuación. La distancia es a lo largo de la X eje y la curva azul es la ley del cuadrado inverso habitual.

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Esto también se puede considerar como que la gravedad se vuelve mucho más fuerte a medida que disminuye la distancia, es decir, la fuerza es mayor, para pequeños r , para la curva roja.

Entonces, con la curva de fuerza roja, un planeta que se acerque demasiado al Sol no podría orbitar de manera estable, sino que entraría en espiral hacia el Sol.

Usted dijo:

La atracción gravitacional de una estrella es exactamente un cuarto de la de una estrella similar a la mitad de la distancia. Esto se debe a que, como sabemos, la fuerza gravitatoria es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre los cuerpos.

Por ejemplo, en un universo hipotético, reemplace "un cuarto" por "un octavo" y "cuadrado" por "cubo". Entonces tienes una fuerza gravitatoria que desciende más rápido que en nuestro universo.

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