Tercera ley de Kepler y dependencia de masas

El$M+m$en tercer lugar la ley de Kepler es un vestigio de la masa reducida asociada al problema de los dos cuerpos . En términos generales, mapeamos un sistema acoplado y complicado de dos partículas que interactúan en un problema equivalente de ecuaciones diferenciales desacopladas, una de las cuales describe el movimiento de una partícula de masa reducida.$\mu$bajo un potencial central correspondiente a la interacción gravitatoria.

Integrando la segunda ley de Kepler,$dA/dt=L/2\mu$, sobre una órbita completa obtenemos

Tenga en cuenta que para el sistema solar normalmente tenemos$M\gg m$por lo que normalmente descuidamos$m$.

La afirmación de que se puede ignorar la masa del cuerpo más pequeño es una aproximación útil en muchas situaciones del mundo real. La diferencia entre$M$y$M+m$para el sistema tierra-luna es sólo alrededor del 1%. Para la tierra y los satélites o el sol y los planetas, esta cantidad puede ignorarse a menos que estés ingresando en varios puntos decimales de precisión.

A menudo, estas fórmulas simplificadas vienen con la suposición declarada de que$M \gg m$.

La razón por la que importa la masa del cuerpo más pequeño es que el campo gravitatorio a través del cual se mueve no es estático, sino que depende del otro cuerpo. El cuerpo más pequeño puede acelerar al más grande, de modo que el campo cambia con el tiempo, y este cambio reduce el período.

$m$sólo se anula en el límite de que el campo gravitatorio sea estático.

Uno tiene que considerar el significado de$R$, ya que normalmente el semieje mayor puede referirse a la mitad de la distancia entre el periapsis y el apoapsis desde la perspectiva del centro de masa de los dos cuerpos celestes (suponiendo solo un problema de dos cuerpos). Sin embargo, en este caso en realidad se refiere a las distancias entre los dos cuerpos.

Para una órbita circular, se puede demostrar que esto es cierto, pero también debería ser válido para órbitas elípticas. El cuerpo de masa$m_1$estará orbitando a una distancia de$r_1$desde el centro de masa y el cuerpo de masa$m_2$estará orbitando a una distancia de$r_2$del centro de masa. Como se dijo antes$R = r_1 + r_2$y del centro de masa se sigue que$m_1\,r_1 = m_2\,r_2$. Resolviendo para$r_1$y$r_2$da$r_1 = m_2\,R\,(m_1 + m_2)^{-1}$y$r_2 = m_1\,R\,(m_1 + m_2)^{-1}$. La fuerza total entre los dos cuerpos se sigue de la ley de gravitación de Newton.

Pero cada cuerpo se moverá a lo largo de su propia trayectoria circular alrededor del centro de masa común. Es decir, si un cuerpo está sujeto solo a una fuerza de magnitud constante perpendicular a su velocidad, entonces se moverá a lo largo de una trayectoria circular a una velocidad constante de acuerdo con

con$\omega = 2\,\pi\,T^{-1}$la velocidad angular La única fuerza que actúa sobre cada cuerpo es la gravedad, por lo que$F_{\perp} = F_g$. Igualar los lados derechos de las ecuaciones$(1)$y$(2)$y ya sea sustituyendo en$1$o$2$para$i$ambos dan

Simplificando esta expresión de hecho da

Sin embargo, si prefiere definir el semieje mayor como la mitad de la distancia entre el periapsis y el apoapsis desde la perspectiva del centro de masa, entonces la ecuación$(4)$se puede reescribir a

sin embargo cuando$m_1 \gg m_2$entonces ecuación$(6)$todavía se simplifica a

Desde la perspectiva de tratar de entender cómo la masa del planeta en órbita podría afectar su período, considere que aunque la aceleración de un objeto en un campo gravitacional no depende de la masa del objeto ($a = \frac{GM}{r^2}$), el movimiento de la masa más grande se ve afectado por la masa del objeto más pequeño. El movimiento del objeto más grande inducido por la presencia del objeto más pequeño a lo largo del tiempo puede hacer que la distancia entre los dos objetos dependa de la masa del más pequeño, y la aceleración que siente la masa más pequeña está directamente relacionada con la distancia entre los dos. objetos.