¿Se puede destruir la vorticidad?

Tengo un profesor al que le gusta decir que la vorticidad no se puede destruir. Veo que esto es cierto para los flujos no viscosos, pero ¿también es cierto para el flujo viscoso? La ecuación de vorticidad se muestra a continuación como referencia. A partir de esta ecuación, parece que la vorticidad solo se convecta y difunde. Esto sugeriría que no puede ser destruido.

D ω D t = ( ω ⋅ ∇ ) V + v ∇ 2 ω

Sin embargo, considera este experimento mental:

Supongamos que tenemos un recipiente cerrado lleno de agua con campo de vorticidad inicial ω 0 en el momento t 0 . Si se permite que el recipiente repose sin ser tocado, como t → ∞ el agua se estacionará ( V → 0 ) con vorticidad cero ( ω → 0 ).

Esto sugiere que la vorticidad puede ser destruida.

Mi profesor afirma que la vorticidad de la capa límite a los lados del contenedor es igual y de signo opuesto a la vorticidad global. Si este es el caso, la vorticidad se cancela después de mucho tiempo, lo que resulta en un fluido estacionario y la vorticidad no se destruye (simplemente se cancela).

EDITAR: estoy buscando una prueba de que la vorticidad de la capa límite es igual y opuesta a la vorticidad a granel o una contraexplicación o prueba. (Estoy usando prueba en un sentido ondulado manual muy suelto)

Parece que has respondido tu propia pregunta. ¿Qué, exactamente, todavía te gustaría aclarar?
@IlmariKaronen No estoy completamente convencido de que la vorticidad de la capa límite sea siempre igual y de signo opuesto a la vorticidad masiva. ¿Y si el recipiente cerrado estuviera lleno de helio superfluido ? Inicialmente no habría capa límite (no habría vorticidad de capa límite) pero supongamos que el campo de vorticidad inicial es el mismo que en el caso anterior. Después de un tiempo, suponga que el helio se calienta ligeramente lo suficiente como para que se forme una capa límite, pero no tanto como para que el contenedor explote. No sé si la vorticidad de la capa límite explica esto.
Es cierto que la situación del helio superfluido es un poco exagerada y lo más probable es que presente muchas más complicaciones. Simplemente parece que ese no siempre tiene que ser el caso. Supongo que la respuesta que estoy buscando es una prueba de que la vorticidad de la capa límite es igual y opuesta a la vorticidad en masa.
Digamos que tenemos un vaso de agua quieto y empiezo a revolverlo para formar un vórtice. Dado que esta es la primera vez que me encuentro con el término "vorticidad de la capa límite", asumo que te refieres a una capa de agua a lo largo de las paredes del vaso, girando en la dirección opuesta (Corrígeme si me equivoco). Luego dejo de remover (saco mi cuchara) y dejo que el flujo de líquido se detenga.
Según su argumento (del profesor), la vorticidad de la capa límite debe ser igual y opuesta a la vorticidad a granel, dado el estado final del fluido. Pero mi agitación creó el vórtice en la masa y la capa límite, y presumiblemente debo haber impartido algún momento angular al fluido (masa + límite). Las 3 cantidades no parecen cuadrar, y eso me confunde. Habría imaginado que la fricción entre el fluido y las paredes del contenedor ayuda a deshacerse de la vorticidad/momento angular y el contenedor lo transmite a la tierra, a través de la superficie sobre la que se asienta.
Ciertamente, la vorticidad se puede destruir, esta es la base de la cascada de energía en la turbulencia 3D donde la energía se canaliza a través del espacio del número de onda desde escalas grandes a pequeñas hasta la escala de Kolmogorov, en cuyo punto se disipa en calor. Por supuesto, para hacer eso, debe mirar las ecuaciones completas ... este enlace debería responder todas sus preguntas. eng.utah.edu/~mcmurtry/Turbulence/turbvort.pdf
@IsopycnalOscillation Debe hacer que su comentario sea una respuesta.
@ user2018790 Listo.
¿Puedes explicar a qué te refieres con cancelar? ¿Eso significa que el término de disipación es 0?
@aberration Al cancelar me refiero a dos campos de vorticidad de igual magnitud pero de diferente signo, de modo que cuando se fusionan, el campo de vorticidad resultante es cero.

Respuestas (5)

Su profesor tiene razón, pero estoy de acuerdo con usted en que la afirmación "la vorticidad no se puede destruir ni crear" parece discordante; preferiría pensar en esto como "la vorticidad se conserva" porque la conservación de la vorticidad se deriva de Navier-Stokes. Eq y la conservación del momento angular. Confieso que esto es dividir la terminología (no presiones a tu profesor), pero creo que me ayudó.

Entonces, creo que tal vez pueda entender esto como una analogía con el momento lineal, porque el momento lineal también se conserva. Recuerdo el problema de un automóvil de masa m, que viaja hacia la derecha con velocidad v, y en el mismo camino un automóvil idéntico viaja hacia la izquierda con velocidad –v. Chocan de frente, se aplastan y se pegan. Velocidades después del choque: cero. Momento después del choque: cero y, por supuesto, se conserva el momento. La cantidad de movimiento total del sistema era cero antes y después.

Digamos que su recipiente lleno de agua es un anillo largo con gruesas paredes de acero. El flujo es inicialmente un flujo circular alrededor del eje (es decir, flujo 2D). ¿Cuál es el momento angular total inicial del sistema? Finalmente, el fluido deja de moverse, por lo que el momento angular total final del sistema debe ser cero. ¿Cómo demostramos que el momento angular inicial también es cero?

En este punto, debe reconocer que el vector de vorticidad en el fluido en movimiento es paralelo en todas partes al eje del contenedor. Y necesita usar el teorema de Stokes para escribir una ecuación integral con una integral de línea en el LHS (la circulación) y una integral de superficie en el RHS (vorticidad integrada sobre la sección transversal del contenedor).

∮ C v ⋅ d yo = ∫ S w ⋅ d S  

Tome su camino de integración (el camino cerrado C) completamente dentro de la pared de acero de su contenedor. La velocidad dentro de la pared del recipiente siempre es cero y, por lo tanto, la circulación a lo largo del camino siempre es cero, por lo que la vorticidad total a través del área de la sección transversal (el área S) del recipiente y el fluido también es siempre cero.

Puede calcular por sí mismo que la vorticidad de la capa límite es igual y opuesta a la viscosidad global utilizando un enfoque similar. Imagine hacer girar el recipiente sobre su eje a una velocidad angular constante. Eventualmente, todo el sistema de contenedor y fluido viscoso girará como un cuerpo rígido alrededor del eje. Cada punto tiene la misma velocidad angular y ahora hay un vórtice ubicado en el centro. Calcule la circulación para cualquier camino cerrado que incluya el vórtice en su interior: esta será la fuerza del vórtice y la magnitud y el signo de la vorticidad en el fluido a granel. Puedes demostrarte a ti mismo que la fuerza de este vórtice es la vorticidad total. Calcule la circulación alrededor de cualquier camino que no incluya el vórtice, esto siempre resultará ser cero. Elija una ruta cerca del límite del contenedor de fluido, s', por lo tanto, la mitad está en el fluido y la otra mitad está dentro de la pared del contenedor, mientras el contenedor y el fluido sigan girando juntos, la circulación alrededor de este camino también será cero. Ahora detenga la rotación del contenedor. El fluido sigue moviéndose. Calcule nuevamente la circulación alrededor de los caminos s', ya no es cero y es la vorticidad en la capa límite. Su signo es opuesto al del vórtice en el centro. Cada punto a lo largo del límite del fluido se puede asociar con una trayectoria como s' y una pequeña cantidad de vorticidad de la capa límite. Integre alrededor de todo el límite y la suma será igual en magnitud y de signo opuesto a la fuerza del vórtice en el centro. Eventualmente, la vorticidad de la capa límite se difundirá hacia el centro y aniquilará el vórtice central. siempre que el recipiente y el fluido sigan girando juntos, la circulación alrededor de este camino también será cero. Ahora detenga la rotación del contenedor. El fluido sigue moviéndose. Calcule nuevamente la circulación alrededor de los caminos s', ya no es cero y es la vorticidad en la capa límite. Su signo es opuesto al del vórtice en el centro. Cada punto a lo largo del límite del fluido se puede asociar con una trayectoria como s' y una pequeña cantidad de vorticidad de la capa límite. Integre alrededor de todo el límite y la suma será igual en magnitud y de signo opuesto a la fuerza del vórtice en el centro. Eventualmente, la vorticidad de la capa límite se difundirá hacia el centro y aniquilará el vórtice central. siempre que el recipiente y el fluido sigan girando juntos, la circulación alrededor de este camino también será cero. Ahora detenga la rotación del contenedor. El fluido sigue moviéndose. Calcule nuevamente la circulación alrededor de los caminos s', ya no es cero y es la vorticidad en la capa límite. Su signo es opuesto al del vórtice en el centro. Cada punto a lo largo del límite del fluido se puede asociar con una trayectoria como s' y una pequeña cantidad de vorticidad de la capa límite. Integre alrededor de todo el límite y la suma será igual en magnitud y de signo opuesto a la fuerza del vórtice en el centro. Eventualmente, la vorticidad de la capa límite se difundirá hacia el centro y aniquilará el vórtice central. Calcule nuevamente la circulación alrededor de los caminos s', ya no es cero y es la vorticidad en la capa límite. Su signo es opuesto al del vórtice en el centro. Cada punto a lo largo del límite del fluido se puede asociar con una trayectoria como s' y una pequeña cantidad de vorticidad de la capa límite. Integre alrededor de todo el límite y la suma será igual en magnitud y de signo opuesto a la fuerza del vórtice en el centro. Eventualmente, la vorticidad de la capa límite se difundirá hacia el centro y aniquilará el vórtice central. Calcule nuevamente la circulación alrededor de los caminos s', ya no es cero y es la vorticidad en la capa límite. Su signo es opuesto al del vórtice en el centro. Cada punto a lo largo del límite del fluido se puede asociar con una trayectoria como s' y una pequeña cantidad de vorticidad de la capa límite. Integre alrededor de todo el límite y la suma será igual en magnitud y de signo opuesto a la fuerza del vórtice en el centro. Eventualmente, la vorticidad de la capa límite se difundirá hacia el centro y aniquilará el vórtice central. Integre alrededor de todo el límite y la suma será igual en magnitud y de signo opuesto a la fuerza del vórtice en el centro. Eventualmente, la vorticidad de la capa límite se difundirá hacia el centro y aniquilará el vórtice central. Integre alrededor de todo el límite y la suma será igual en magnitud y de signo opuesto a la fuerza del vórtice en el centro. Eventualmente, la vorticidad de la capa límite se difundirá hacia el centro y aniquilará el vórtice central.

@Isopycnal_Oscillation tiene razón al señalar que en 3D, y particularmente cerca de condiciones turbulentas, la vorticidad no se conserva. El segundo término en el RHS de su 'ecuación de transporte' dice que el estiramiento y la inclinación de los tubos de vórtice también pueden cambiar la vorticidad. Sin embargo, espero que en las clases en las que a su profesor le gusta decir que "la vorticidad no se puede destruir", el flujo turbulento rara vez se encuentra.

Finalmente, suponiendo que la LHS de su 'ecuación de transporte' es igual a cero, no necesariamente requiere que el fluido no sea viscoso o que el problema sea 2D; está asumiendo que los términos en la RHS se cancelan exactamente y la vorticidad es fortuitamente 'estable'. -estado.' Entonces sí, esa es una suposición muy fuerte para aceptar.

Ciertamente, la vorticidad se puede destruir, esta es la base de la cascada de energía en la turbulencia 3D donde la energía se canaliza a través del espacio del número de onda desde escalas grandes a pequeñas hasta la escala de Kolmogorov, en cuyo punto se disipa en calor. Por supuesto, para hacer eso, debe mirar las ecuaciones completas ... este enlace debería responder todas sus preguntas.

Esto es interesante, pero creo que no responde del todo a la pregunta central, que trata sobre las ecuaciones para un fluido incompresible (pero viscoso), en cuyo caso la vorticidad parece conservarse. ¿Es necesario considerar un fluido compresible para ver cómo se asienta un vaso de agua con vorticidad inicial?
Se conserva en el caso 2D y para números de Reynolds altos donde la difusión es insignificante. En ese caso, la vorticidad es simplemente advectada dentro del fluido como un escalar, como lo haría una partícula. Además, dado que el flujo está confinado a un plano, no se permite el estiramiento del vórtice. Es por eso que en 2D obtienes la cascada de energía inversa donde la energía fluye de escalas más pequeñas a más grandes: no existe un mecanismo para romper remolinos grandes en remolinos más pequeños.

De hecho, la vorticidad es una transformación lineal del impulso, que se conserva en sistemas aislados. Entonces, si su sistema está aislado (sin transferencia de masa y energía), se conservan el impulso, la masa, la energía y la vorticidad. De lo contrario, puede transferir vorticidad a través de los límites. Esto es lo que le sucede a su tanque con la vorticidad inicial. Porque no es un sistema aislado (está transfiriendo impulso a las paredes del tanque). Si coloca su tanque en una placa giratoria de masa cero y sin fricción y excluye la fricción del aire en la superficie libre, su tanque rotará para siempre con el fluido y la vorticidad inicial del fluido será igual a la vorticidad final del fluido. + tanque.

La vorticidad en la capa límite no siempre es igual a la vorticidad en la masa. Tu profesor está equivocado. Imagine lo siguiente con su tanque: extrae algo de la vorticidad inicial para hacer girar una rueda sin fricción. Con la lógica de su profesor, (la vorticidad de volumen y límite se cancela). ¡Pero tu rueda sigue girando! ¿De dónde viene esta energía?

De hecho, la vorticidad en el fluido se drena lentamente al transferir impulso a las paredes del tanque a través de la capa límite y, por lo tanto, a la Tierra, si el tanque no está en nuestra placa sin fricción.

PD: Ningún sistema real está verdaderamente aislado. Pero puede imaginar su tanque con condiciones de deslizamiento libre en las paredes. En este caso no hay transferencia de cantidad de movimiento a través de los límites y el fluido sigue difundiendo su vorticidad hasta que alcanza un estado de rotación de cuerpo sólido donde el campo de tensión superficial es idénticamente cero y por lo tanto el estado del fluido solo se equilibra mediante gradientes de presión y fuerzas centrífugas. En este punto, la difusión de la vorticidad se detiene, como puede ver en su ecuación. Pero la cantidad total siempre había sido la misma.

Confusión con la cascada de energía: muchos piensan que la vorticidad puede destruirse o crearse debido a la cascada de energía y la disipación o al término de estiramiento del vórtice. ( ω ⋅ ∇ ) V → . Esto debido a que algunos autores lo denominan como término de producción de vórtice. Esto es engañoso. Lo que se puede producir o destruir no es vorticidad sino enstrofia, que son el equivalente del momento y la energía cinética. El momento se conserva y la energía cinética se disipa a través de la viscosidad. De manera similar, la vorticidad se conserva y la entrofia se disipa a través de la viscosidad. Otro punto crítico para comprender es la diferencia de la ecuación para la evolución de la vorticidad en una partícula material, o bucle como circulación, y la integral de vorticidad en todo el dominio. Por supuesto, en una partícula en general cambiará (se difundirá, se estirará, se inclinará), pero la integral de un sistema aislado sigue siendo la misma.

Acabo de encontrarme con este, y dado que hasta ahora no se ha dado una respuesta clara, arrojaré mis dos centavos:

Tu profesor está equivocado, simple y llanamente.

Las ecuaciones fundamentales muestran claramente que la vorticidad no se conserva en los flujos viscosos, ni en el caso compresible ni en el incompresible. En el caso incompresible 2-D, la ecuación de transporte de vorticidad parece una ecuación de convección-difusión, pero esto es engañoso. En general, habrá producción de vorticidad en el límite, y la vorticidad se pierde por disipación en el interior del dominio. En el caso de 3-D, la vorticidad también se puede generar a través de efectos no lineales (estiramiento de vórtice).

Noté que la ecuación de vorticidad publicada en la pregunta original es correcta y, por lo tanto, (a) claramente no es solo una ecuación de convección-difusión, y (b) que una cantidad descrita por una ecuación de convección-difusión en general no se conserva.

Observo de pasada que parte del material publicado anteriormente confunde vorticidad con circulación, o la existencia de vórtices. Esos son conceptos diferentes.

PD: La declaración " Estoy buscando una prueba de que la vorticidad de la capa límite es igual y opuesta a la vorticidad en masa o una contraexplicación o prueba ". realmente no tiene sentido. La vorticidad es un campo vectorial continuo, y solo existe uno de esos campos. El término "viscosidad a granel" no está definido.

Estoy de acuerdo con los comentarios hechos por el individuo justo arriba y me gustaría hacer algunas observaciones. La circulación es la cantidad derivada de la vorticidad que se conserva para barotrópico ( ρ = ρ ( PAGS ) ), no viscoso y en ausencia de fuerzas no conservativas. Esto no es válido para la vorticidad, que puede verse alterada por la compresibilidad y los efectos no lineales dentro del fluido. Su profesor podría haber estado hablando de Circulación en circunstancias especiales.

También recuerde que la vorticidad es más un concepto matemático. El sentido más físico de la vorticidad vendría de su magnitud, que es el doble de la velocidad angular y eso es solo eso. Por lo tanto, no debe confundirse con el desprendimiento o la generación de vórtices, la disipación, etc. Todos son aspectos físicos del flujo.

¿Se puede destruir la vorticidad?
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