¿Cuál es la simetría correspondiente de la conservación de la enstrofia?

La enstrofia de un flujo se define como sigue, donde$\boldsymbol\omega$es el campo de vorticidad

$$\mathcal{E} = \iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2} \, d\mathbf{S}$$ La enstrofia se conversa solo en 2 dimensiones. Esto se debe a que el término de estiramiento de vórtice $\boldsymbol \omega \cdot \nabla \mathbf{u} = 0$solo en 2d. En 3d se puede utilizar para aumentar o disminuir la entrofia del flujo.

Leemos la conservación de la entrofia de la siguiente manera

$$\frac{\partial}{\partial t}\iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2} \, d\mathbf{S} = 0$$ La conservación de la entrofia es el resultado de la simetría oblicua en el operador convectivo. $c$en su forma trilineal de la siguiente manera $$c((u, v), w) = - c((u, w), v)$$ Esto se debe a que en la ecuación completa para la evolución de la entrofia, el término trilineal desaparece en 2d. $$\frac{\partial}{\partial t}\iint \frac{\boldsymbol \omega^2}{2}d\mathbf{S} = -\frac{\nabla \boldsymbol\omega^2}{\mathrm{Re}} + c((\boldsymbol\omega, \boldsymbol u), \boldsymbol\omega)$$ Lo que asegura que en 2d se conserva la entropía de un flujo.