¿Se cumple el teorema de Pitágoras para la contracción de la longitud según la relatividad especial?

Aquí hay un experimento mental.

Considere un marco S en el que un observador está en reposo y mira hacia adelante para encontrar un triángulo rectángulo de lados 3 (eje x), 4 (eje y) e hipotenusa 5. Ahora considere otro marco S' en el que se mueve a una velocidad ' v ' moviéndose a lo largo del eje x, con respecto al marco S, que tiene otro observador.

¿Podrá el observador en el marco S' deducir con precisión el teorema de Pitágoras o la contracción de la longitud a lo largo del eje x conducirá a alguna otra longitud del eje x para el triángulo?

Tenga en cuenta que la hipotenusa tiene un componente en el X -dirección.
Y aunque no es directamente relevante para esta pregunta, es crucial comprender la paradoja de la escalera ( en.wikipedia.org/wiki/Ladder_paradox ) si está pensando en las formas de los objetos geométricos desde una perspectiva relativista.
Sí. Pensé en la dirección x de la hipotenusa. Debería hacer las matemáticas y comprobar si funciona.
Me parece que la contracción de la longitud podría presentar una diferencia débil pero marginalmente perceptible en el grosor aparente del eje x, lo que impediría la formulación exacta del teorema.
Creo que hay dos partes distintas en su pregunta que quizás no estén claramente delineadas: (1) ¿son los dos observadores capaces de deducir independientemente el teorema de Pitágoras (al estudiar lo que para cada uno de ellos, en su propio marco, parecen ser triángulos rectángulos ), y (2) bajo qué condiciones es un triángulo rectángulo en un marco también un triángulo rectángulo en el otro marco (aunque no necesariamente uno similar, por ejemplo, tal vez esté aplastado de alguna manera, pero se conserva el ángulo recto).

Respuestas (5)

Si dibujas un triángulo rectángulo en una hoja de caucho y estiras uniformemente el caucho en una dirección alineada con uno de los lados que no son hipotenusa... todavía tienes un triángulo rectángulo. Sin embargo, el ángulo ha cambiado. ¿Crees que podría haber algún paralelismo con tu experimento mental?

No veo mucho valor agregado en este tipo de respuesta tipo "qué pasaría si", despreciando al autor de la pregunta.
@Olorin: en realidad, esto no es despreciar al autor de la pregunta, esto empuja al autor de la pregunta (que claramente está estudiando SR y tratando de entender esto más profundamente) en la dirección correcta, y les brinda la oportunidad de tener un pequeño Ajá ! momento, que, si tiene éxito, será mucho más valioso para ellos que una respuesta directa. Ahora, si bien este es un sitio de preguntas y respuestas, a veces lo que pregunta el autor de la pregunta es solo una faceta superficial de lo que realmente quiere saber. Entonces, de hecho, esto muestra empatía y, en lugar de abordar una necesidad superficial, trata de abordar la pregunta más profunda.
El único problema con esta respuesta es que no es una comprensión definitiva a prueba de futuro para la siguiente persona con una pregunta similar o exacta, sino que solo es útil directamente para el OP si resuelve el acertijo o para aquellos que ya saben la respuesta.

He hecho un diagrama para aclarar la situación.

el negro es para el S sistema coordinado

el rojo es para el S ′ sistema de coordenadas con movimiento v ′ relativo a S

El triángulo negro es lo que S ve El triángulo rojo con base reducida más pequeña. b ′ qué es S ′ ve S y S ′ ambos verán un triángulo rectángulo y ambos obedecerán el Teorema de Pitágoras.

a 2 + b 2 = C 2
y también
a ′ 2 + b ′ 2 = C ′ 2

De hecho, ambos también sabrán lo que ve el otro mediante las fórmulas de contracción de longitud.

Espero que eso ayude a aclarar tu pregunta.

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No soy físico, pero ¿la contracción de longitud relativista también contrae y expande ángulos como parte de la transformación de Lorentz? No estoy tan seguro de que un triángulo rectángulo relativista siga siendo un triángulo rectángulo .
Lo hace, pero depende de la dirección en la que se produzca la contracción de la longitud. ¡Tenga en cuenta que un ángulo en el triángulo sí cambia! ¡Es solo el que tiene 90 grados!
Quiero decir que "Simplemente NO es el que tiene 90 grados
@FredricSy Incline el triángulo para que la contracción de la longitud ocurra perpendicular a la hipotenusa, y estoy bastante seguro de que el ángulo de noventa grados ya no será de noventa grados.
Tiene razón, como mencioné en el comentario anterior, sin embargo, la contracción de la longitud ocurre a lo largo del eje x según la pregunta.

En todos los marcos inerciales la métrica es d s 2 = − C 2 d t 2 + d X 2 + d y 2 + d z 2 . Para cualquier momento en el tiempo podemos establecer d t = 0 y recuperar el teorema de Pitágoras.

Entonces, el teorema de Pitágoras se cumple para el espacio en todos los marcos inerciales en relatividad especial. Entonces, si uno de los catetos de un triángulo rectángulo se contrae en longitud, entonces puedes usar el teorema de Pitágoras para determinar la contracción de la hipotenusa.

Como alternativa a las otras respuestas, podría usar el principio de relatividad en lugar de cualquier forma explícita de la transformación de Lorentz (que se deduce de ella): esto dice que las leyes de la física se pueden formular de la misma manera en todos los marcos inerciales.

Esto implica que no hay ningún experimento que le diga su estado de movimiento (uniforme), en particular, si el teorema de Pitágoras se cumple en un marco, se cumple en todos los marcos.

Su experimento mental debe comenzar con preguntas más básicas: "¿Qué es una línea recta?" y "¿Qué es un ángulo recto?" y "¿Cómo medir la distancia?"

Si estamos haciendo un experimento de física real, decimos usar un rayo de láser como una "línea recta" y un reloj atómico para medir el tiempo de tránsito entre puntos, midiendo así la distancia, y un espejo para reflejar el láser en un ángulo recto. Y pones toda la configuración en una nave espacial que viaja casi a la velocidad de la luz.

Desde el observador dentro de la nave espacial, obviamente se cumple el Teorema de Pitágoras. Para un observador estacionario fuera de la nave espacial, con la transformada de Lorenz, creo que el Teorema de Pitágoras todavía se cumple.

Sin embargo, si la nave espacial vuela junto a un agujero negro, el espacio no es cartesiano, por lo que el teorema de Pitágoras no se cumple. (Lo mismo se aplica al marco acelerado).

¿Se cumple el teorema de Pitágoras para la contracción de la longitud según la relatividad especial?
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