¿Se cumple el teorema de Birkhoff dentro del horizonte de sucesos?

Hay más de una forma de enunciar el teorema de Birkhoff, pero una es que las soluciones de vacío esféricamente simétricas son de Schwarzschild. La estaticidad no es una suposición, ni la estaticidad surge como resultado, ya que la métrica de Schwarzschild no es estática dentro del horizonte. Sin embargo, es asintóticamente estático. Para una prueba que creo que maneja esto correctamente, vea la sección 7.4.6 de mi libro GR .

La respuesta de Ben Crowell es correcta. Espero poder aclarar un poco. Si se parte de los dos supuestos siguientes:

1. $R_{ab} = 0\;$(es decir, ecuación de campo en el vacío)
2. La métrica se puede escribir en la forma $${\rm d}s^2 = g_{uu}(u,v) {\rm d}u^2 + 2 g_{uv}(u,v) {\rm d}u {\rm d}v + g_{vv}(u,v) {\rm d}v^2 + f^2(u,v) \left( {\rm d}\theta^2 + \sin^2(\theta) \, {\rm d}\phi^2 \right)$$

entonces se puede demostrar (Birkhoff) que existen coordenadas en las que la métrica toma la forma de Schwarzschild. Adoptando los nombres de coordenadas habituales$t,r,\theta,\phi$no es necesario suponer que$r$es una coordenada espacial; el resultado es válido tanto dentro como fuera del horizonte.

El punto (2) anterior es, por supuesto, un intento de capturar la noción de "simetría esférica" ​​sin imponer más suposiciones. Uno podría proporcionar más argumentos para mostrar por qué esta forma debe mantenerse si la situación tiene simetría rotacional alrededor de dos ejes diferentes.

La solución no es única si puede tener fuentes. Y Birkhoff todavía puede trabajar con fuentes.

De hecho, Birkhoff cubre el caso de una estrella esféricamente simétrica con bastante facilidad. Puede pegar una solución de parámetro$M$y una solución del parámetro$M+m$simplemente corte el interior del parámetro$M+m$solución y recortar el exterior del parámetro$M$solución y coserlos juntos en una superficie de área de superficie común y colocar$mc^2$de energía en la interfase.

Así es como se vería una estrella real (esféricamente simétrica). Tenga en cuenta que cuando encuentra una capa de energía, la solución debajo de esa capa cambia. Así que saber dónde se encuentra la energía es importante.

Así que echemos un vistazo a un agujero negro. Si esperábamos que se formara a partir de capas de la estrella que se contraen, notamos que solo el historial de capas antes de que alcancen el horizonte de eventos es lo que nos afecta. Una capa muy interna está bastante dilatada en el tiempo y todavía la estamos viendo desde antes de que se formara el horizonte. Una capa media está bastante dilatada en el tiempo y todavía la estamos viendo desde antes de que el horizonte de eventos llegara a esa capa. Y para una capa externa, está un poco dilatada en el tiempo y lo vemos desde antes de que el horizonte de eventos vaya a esa capa externa.

Podríamos modelar cómo caen las capas y así obtener soluciones para el interior, pero dependerán exactamente de cuándo se cruzó cada capa.

Un ejemplo simple de calcular es una sola capa de polvo que colapsó en caída libre desde un radio inicial r. Se parece a Minkowski por dentro. Schwarzschild de parámetro$M$en el exterior y el límite entre el interior y el exterior se desplaza hacia el interior. Podría (matemáticamente) rastrear el caparazón hasta que llegue a la singularidad y en ese punto no haya más espacio-tiempo de Minkowski.

Pero también podría tener un agujero negro eterno donde siempre fuera Schwarzschild para cada evento en el exterior. Pero eso no te dice qué conchas hay dentro.

Una solución es que hay una capa de energía de masa en reposo cero en el horizonte de eventos que se aleja a la velocidad de la luz. Esta solución eterna tiene el espacio-tiempo de Schwarzschild (fuera del horizonte de eventos) de parámetro$M$y tiene el espacio-tiempo de Minkowski (dentro del horizonte de eventos). Y siempre ha tenido esa solución. Solo hay energía en la interfaz. La energía no tiene masa en reposo, por lo que se mueve a la velocidad de la luz. Y resulta que se está moviendo hacia el exterior. Entonces, la solución es estática para siempre, ya que la energía permanece en el horizonte de eventos.

Otra solución no tiene energía en absoluto en el horizonte de eventos o en cualquier otro lugar, todo es Schwarzschild de parámetro$M$hasta el final (puede llamarlo Kruskal-Szekeres, solo intento decir que sin energía o fuentes puede ser el mismo parámetro hasta el final).

"después de entrar todavía verías toda esa masa dentro contigo"... Creo que esto es incorrecto. El material que cayó está causalmente desconectado de ti, independientemente de tus movimientos después de eso.

No tienes que pensar en ello, solo puedes mirar un diagrama de Penrose-Carter. Uno simple es solo coordenadas Kruskal-Szekeres en lugar de$r$y$t.$Dependiendo de cuánto antes entró el asunto en comparación con cuando entró, es posible que no pueda reunirse con él, y es posible que no pueda ver todo su futuro de presingularidad, pero cuando cruza el horizonte, ve todo evento donde algo cruzó antes . Y después de que pasas, empiezas a ver partes después de que pasaron.

Dibuja un sistema de coordenadas Kruskal-Szekeres. Elija un evento en el horizonte de eventos donde cruza. Tome el cono delantero con la parte que se precipita a la velocidad de la luz (esa es simplemente la continuación del cono de luz que va hacia adentro desde el exterior si el interior lo confunde por dentro) luego, en el evento donde se cruza con la singularidad, tome el cono de luz pasado de ese evento Luego tome el cono de luz pasado de todos los eventos en la singularidad más cerca de su exterior que del evento. Su unión son todos los eventos que podrías ver.

Pero el cono de luz delantero de la materia que cayó antes que usted incluye su línea de tiempo y no hay forma de evitarlo (al menos para las partes que cayeron lo suficientemente similar a donde usted fue, y suponiendo que no se destruya, lo que sucedería si tu estrella estaba hecha de capas de materia y antimateria, pero aún verías la radiación de la aniquilación de esas capas). Una vez más, no tienes que pensar, solo haz un dibujo.

Si insiste en considerar algo formado a partir de la materia, entonces considere una distribución esférica finita de tensión-energía dentro de un horizonte aparente. Déjalo evolucionar y se formará un horizonte de eventos y toda la materia lo cruzará en un tiempo propio finito, y llegará a una singularidad en un tiempo propio finito. En un tiempo propio finito tendremos una solución de vacío.

Eso es tan vago que es imposible de leer. Si tuviera un caparazón de fuente cayendo, entonces, por definición, en el horizonte de eventos, la luz de esos eventos podría moverse hacia afuera y permanecer en el horizonte de eventos, por lo que literalmente lo vería cuando cruce. Tu cruce sería un evento en el que ves que la luz de ese cruce te alcanza mientras cruzas. Y si cae hasta que llega a la singularidad, entonces la luz que va hacia el exterior desde esa caída llenará los eventos interiores del horizonte de eventos.

Por lo tanto, sigues viendo la materia que cae. Claro, si fuera un caparazón que caía lentamente y llegaste después, podrías correr más rápido y llegar a una región del espacio-tiempo de Minkowski. Pero el punto sigue en pie, el asunto está dentro y lo ves cuando cruzas (como se ve claramente en un diagrama), por lo que los agujeros negros reales no son vacíos ni siquiera para los eventos que están fuera del cono de luz pasado del cruce de la capa más externa. . Todos siempre ven la materia que la formó.