Dilatación del tiempo dentro de una cáscara hueca

Question

Dilatación del tiempo dentro de una cáscara hueca

Yukterez

Suponiendo que tengo una capa hueca con masa total $M$ y radio $r$ . En la superficie, la dilatación del tiempo gravitacional sería

τ = t \cdot \sqrt{1 - \frac{v_{mi s C}^{2}}{C^{2}}}

$\tau=t \cdot \sqrt{1-\frac{v_{esc}^2}{c^2}}$

dónde

v_{mi s C} = \sqrt{\frac{2 \cdot GRAMO \cdot METRO}{r}}

$v_{esc} = \sqrt{\frac{2 \cdot G \cdot M}{r}}$

pero dentro del caparazón no habría campo gravitatorio (teorema del caparazón de Newton y teorema de Birkhoff).

Pero aún así, la velocidad de escape requerida para escapar al infinito sería la misma que en la superficie, ya que dentro del caparazón podrías moverte sin que ninguna fuerza de aceleración o desaceleración actúe sobre ti hasta llegar a la superficie, desde donde serías empujado hacia atrás.

También lo es la dilatación del tiempo dentro de la capa hueca en relación con un observador libre de campo en el infinito.

cero (supongo que no lo es) o
lo mismo que en la superficie (mi mejor suposición), o
algo completamente diferente?

Encontré algunos hilos no duplicados pero relacionados en el interior de los agujeros negros que realmente no se enfocaban en las matemáticas, pero estoy más atrasado en los cálculos en términos de $M$ y $r$ .

Respuestas (2)

Dilatación del tiempo dentro de una cáscara hueca

Michael Seifert · Answer 1

Para una métrica asintóticamente plana, el tiempo propio medido por un observador "estacionario" (definido aquí como uno cuyo camino a través del espacio-tiempo solo tiene cambios $t$ , y sin cambiar las coordenadas espaciales) es

d τ = \sqrt{- {gramo}_{t t}} d t,

$d \tau = \sqrt{ - g_{tt}} dt,$ dónde

g_{t t}

$g_{tt}$ es el componente de tiempo-tiempo de la métrica. Para un campo gravitacional "débil", esto resulta ser

{gramo}_{t t} \approx - (1 + \frac{2 Φ}{C^{2}}),

$g_{tt} \approx - \left( 1 + \frac{2 \Phi}{c^2} \right),$ dónde

Φ

$\Phi$ es el potencial gravitatorio, definido de manera que

Φ \to 0

$\Phi \to 0$ como

r \to \infty

$r \to \infty$ . De este modo,

d τ = \sqrt{1 + \frac{2 Φ}{C^{2}}} d t .

$d \tau = \sqrt{ 1 + \frac{2 \Phi}{c^2}} dt.$ De esta forma, es bastante obvio que el factor de dilatación del tiempo es el mismo en todas partes dentro del caparazón, ya que

Φ

$\Phi$ es una constante dentro de una capa hueca (compare el equivalente electrostático si no está convencido de esto).

Tenga en cuenta que su fórmula, en términos de velocidad de escape, es equivalente a esta si define la velocidad de escape en cualquier punto como "la velocidad para la cual la energía total del objeto es cero". (La energía total cero significa, por supuesto, que la partícula puede escapar al infinito). En este caso, tenemos

\frac{1}{2} metro v_{Esc}^{2} + metro Φ = 0 \Rightarrow v_{Esc}^{2} = - 2 Φ

$\frac{1}{2} m v_\text{esc}^2 + m \Phi = 0 \quad \Rightarrow \quad v_\text{esc}^2 = - 2 \Phi$ y su resultado anterior se recupera. En esta interpretación, la "velocidad de escape" desde el interior de una esfera hueca sería la misma que la velocidad de escape desde la superficie: si lanzamos un proyectil dentro del caparazón, viajará con velocidad constante hasta alcanzar la superficie del caparazón; y si en ese punto abrimos un pequeño ojo de buey en el caparazón para el proyectil, es como si lo lanzáramos desde la superficie con esa misma velocidad.

Ver también: Si la gravedad dobla el espacio-tiempo, ¿podría manipularse la gravedad para congelar el tiempo?
¿Se mantendrían las mismas conclusiones si el campo gravitatorio fuera fuerte en lugar de débil?
Solo para hacerlo bien: si coloco un planeta con una masa y un radio correspondientes a un factor de dilatación de tiempo gravitacional de x dentro de una capa hueca que tiene (sin el planeta adentro) una dilatación de tiempo de factor y en su superficie, el nuevo factor en la superficie del planeta que ahora está dentro del caparazón sería x*y, en comparación con un observador en el infinito?
@no_choice99: resulta que para la métrica de Schwarzschild, la expresión de campo débil que usa el potencial newtoniano da la respuesta correcta, por lo que la conclusión de Michael es correcta incluso para objetos que son lo suficientemente masivos como para ser casi agujeros negros. Sin embargo, esto no es generalmente cierto.
@СимонТыран: Preferiría decir que si tiene dos configuraciones de masa newtonianas, una de las cuales produce un factor de dilatación del tiempo $(1 + \delta)$ en un punto particular por sí mismo y el otro de los cuales produce un factor $(1 + \epsilon)$ , entonces el factor de dilatación temporal combinado sería $(1 + \delta + \epsilon)$ . Esto es aproximadamente igual a $(1 + \delta)(1 + \epsilon)$ si $\delta, \epsilon \ll 1$ , por lo que en ese sentido su afirmación es correcta. Sin embargo, me sentiría más cómodo haciendo mi declaración, ya que se basa en la linealidad de la gravedad newtoniana (que no es el caso en GR).
@СимонТыран: Dicho esto, la diferencia es irrelevante en el límite de gravedad débil, por lo que en ese régimen su declaración está bien. Solo tenga en cuenta que ninguna de nuestras declaraciones funcionará si alguna vez intenta aplicarlas a campos gravitatorios fuertes ( $\Phi \lesssim c^2$ .)
@no_choice99: Además de lo que dijo John, la noción de "velocidad de escape" (en mi último párrafo) no está relacionada con $\Phi$ de una manera tan sencilla cuando $\Phi$ es largo.
@Michael Seifert ¿Es realmente (1+δ+ε) en lugar de (1+δ)(1+ε)? Siempre pensé que la primera opción es una simplificación para δ y ε pequeños, mientras que la última solución me parece más intuitiva para valer también para δ y ε más grandes.
@СимонТыран: El problema es que GR no es lineal: si desea encontrar el campo producido por dos objetos, no puede simplemente resolverlos y luego combinar los dos campos. Esto significa que si $\delta$ y $\epsilon$ no son pequeños, entonces la respuesta correcta es (probablemente) tampoco $(1 + \delta + \epsilon)$ o $(1 + \delta)(1 + \epsilon)$ , pero alguna otra función complicada de $\delta$ y $\epsilon$ que concuerda con ambos en primer orden. Sólo cuando $\delta$ y $\epsilon$ son pequeños (el régimen "linealizado") podemos ignorar los términos de orden superior, y entonces nuestras respuestas son equivalentes.
Pero @John Rennie dijo que en los escenarios de Schwarzschild la solución también se mantiene en campos fuertes, por lo que si $\delta=1$ y $\epsilon=1$ es la solucion mas bien $1+\delta+\epsilon=3$ o $(1+\delta)(1+\epsilon)=4$ ?
@СимонТыран: para el objeto compuesto que describe, la geometría dentro de la capa más externa no se describe en la métrica de Schwarzschild. La métrica de Schwarzschild le da a la geometría exterior una distribución de masa esféricamente simétrica. Tendría que ubicarme y averiguar cómo se ve la métrica para su distribución masiva y eso sería mucho trabajo.
En ese caso, marcaré el anwear de Seifert como aceptado y estableceré una recompensa por una nueva pregunta sobre las ecuaciones GR.
Iba a hacer la misma pregunta, pero no entiendo esta respuesta. Desde un marco de referencia externo, ¿experimenta el interior de una esfera de Dyson lo suficientemente masiva/densa la dilatación del tiempo solo por la masa de la esfera?
@CJDennis: Sí, porque el interior del caparazón tiene un potencial gravitacional más bajo $\Phi$ en comparación con puntos alejados del caparazón.
@MichaelSeifert Me temo que tampoco lo entiendo. Mercurio experimenta una ligera dilatación del tiempo porque está en lo profundo del pozo de gravedad del Sol. Los satélites GPS experimentan una ligera dilatación del tiempo porque viajan muy rápido alrededor de la Tierra. ¿Cómo llego desde allí a la dilatación del tiempo dentro de una esfera Dyson?
@CJDennis: probablemente valdría la pena hacer una pregunta por separado sobre esto, pero para esbozarlo: use la ley de Gauss para calcular el campo de aceleración gravitacional de la esfera de Dyson y luego intégrelo a lo largo de un camino radial para encontrar $\Phi$ . El proceso es básicamente el mismo que encontrar el potencial eléctrico dentro de una capa cargada. Luego usa la ecuación anterior relacionando $\tau$ (el tiempo propio de un observador en reposo dentro de la esfera) y $t$ (el tiempo observado en el infinito).

jim pamplin · Answer 2

Me parece que la velocidad del reloj dentro de un Newton Shell debería ser independiente de la masa del caparazón, como si esa masa no existiera. No hay fuerza neta, por lo tanto no hay potencial gravitacional con respecto a la masa. Considerar la velocidad de escape desde el interior del caparazón a un lugar infinitamente lejano es un giro interesante, pero un reloj dentro del caparazón no detecta la presencia de la masa del caparazón, ni "sabe" que hay algo de lo que escapar. Sospecho que, en términos de dilatación del tiempo gravitacional dentro de un Newton Shell, el tema de la velocidad de escape es una pista falsa y no tiene relación con la velocidad del reloj interno.

Cada reloj funciona localmente a su ritmo natural. La dilatación del tiempo gravitacional afecta la observación de relojes desde otros lugares. Y aunque todos los relojes dentro del caparazón estarían de acuerdo entre sí, el OP solicita explícitamente una comparación con los relojes de distancia.

Dilatación del tiempo dentro de una cáscara hueca

Yukterez

Respuestas (2)

Michael Seifert

Juan Rennie

sin tratar_paramediensis_karnik

Yukterez

Juan Rennie

Michael Seifert

Michael Seifert

Michael Seifert

Yukterez

Michael Seifert

Yukterez

Juan Rennie

Yukterez

dennis cj

Michael Seifert

dennis cj

Michael Seifert

jim pamplin

dmckee --- gatito ex-moderador

Mediciones de la geometría del espacio-tiempo dentro de una capa esférica extremadamente densa

Dilatación Gravitatoria del Tiempo y Coordenadas de Schwarzschild

¿Existe tal cosa como la dilatación del tiempo imaginario?

Elementos no diagonales de la métrica de Schwarzchild

Solución métrica de Schwarzchild: las ecuaciones de campo de Einstein parecen redundantes

¿Se cumple el teorema de Birkhoff dentro del horizonte de sucesos?

¿Cómo trato con la coordenada del radio de la métrica de schwarzschild en este problema numérico?

Teorema de Birkhoff en configuración general (r2→e2γ(r)r2→e2γ(r)r^2 \rightarrow e^{2\gamma(r)})

Derivación del teorema de Birkhoff

Agujero negro de Kerr sin masa