¿Cuál es el radio del horizonte de sucesos?

SrDi

Sé que el radio de Schwarzschild está dado por

\begin{matrix} (1) & r = \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2}} . \end{matrix}

$r~=~\frac{2GM}{c^{2}}.\tag{1}$

Sin embargo, si tuviéramos la métrica

\begin{matrix} (2) & d s^{2} = - A (r, t) d t^{2} + \frac{d r^{2}}{B (r, t)} + r^{2} (d θ^{2} + {pecado}^{2} θ d ϕ^{2}), \end{matrix}

$ds^2~=~−A(r,t)dt^2+\frac{dr^2}{B(r,t)}+r^2(dθ^2+\sin^2{θ}dϕ^2),\tag{2}$

dónde

\begin{matrix} (3) & A (r, t) \neq (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2} r}) \end{matrix}

$A(r,t)~\neq~(1−\frac{2GM}{c^2r})\tag{3}$

y

\begin{matrix} (4) & B (r, t) \neq (1 - \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2} r}), \end{matrix}

$B(r,t)~\neq~(1−\frac{2GM}{c^{2}r}),\tag{4}$

Entonces, ¿qué es el horizonte de sucesos?

Respuestas (3)

Juan Rennie

Comencemos con lo que entendemos por un horizonte:

El horizonte de eventos de un espacio-tiempo asintóticamente plano es el límite entre aquellos eventos a partir de los cuales una geodésica nula que apunta al futuro puede alcanzar el infinito nulo futuro y aquellos eventos a partir de los cuales no existe tal geodésica.

Una geodésica nula es el camino seguido por un rayo de luz, por lo que el horizonte marca la superficie en la que la luz simplemente no puede escapar al infinito. Entonces, lo que debemos hacer es observar las trayectorias seguidas por los rayos de luz y encontrar dónde quedan atrapados.

En este caso, la simetría esférica facilita el problema porque los rayos de luz radiales serán normales al horizonte. Así que podemos buscar el radio en el que la velocidad coordinada de los rayos de luz radiales es cero. Para una trayectoria radial $d\theta = d\phi = 0$ , y la métrica se convierte en:

d s^{2} = - A (r) d t^{2} + \frac{d r^{2}}{B (r)}

$ds^2=−A(r)dt^2+\frac{dr^2}{B(r)}$

Y sabemos que por luz $ds = 0$ así obtenemos la ecuación:

0 = - A (r) d t^{2} + \frac{d r^{2}}{B (r)}

$0 = −A(r)dt^2 + \frac{dr^2}{B(r)}$

lo que nos da:

\frac{d r}{d t} = \sqrt{A (t) B (t)}

$\frac{dr}{dt} = \sqrt{A(t)B(t)}$

El lado izquierdo $dr/dt$ es la velocidad coordinada del rayo de luz, por lo que la ubicación del horizonte de eventos es donde esto es cero:

\begin{matrix} (1) & \sqrt{A (t) B (t)} = 0 \end{matrix}

$\sqrt{A(t)B(t)} = 0 \tag{1}$

Por ejemplo, la métrica de Schwarzschild tiene $A(t)$ y $B(t)$ igual a:

A (t) = B (t) = 1 - \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2} r}

$A(t) = B(t) = 1 - \frac{2GM}{c^2r}$

y la ecuación (1) se convierte en:

1 - \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2} r} = 0

$1 - \frac{2GM}{c^2r} = 0$

que tiene la solución que ya sabemos:

r = \frac{2 GRAMO METRO}{C^{2}}

$r = \frac{2GM}{c^2}$

Cualquier persona interesada en esta área puede consultar la pregunta anterior de Anonymous sobre el tema , ya que mi respuesta proporciona más detalles sobre lo que nos dice la métrica.

Nota:

Michael Seifert señala que el análisis que he dado anteriormente solo es aplicable cuando la métrica es independiente del tiempo, es decir, cuando $A$ y $B$ son funciones solo de $r$ y no de $t$ . Este tipo de métrica se llama espacio-tiempo estático .

Mi análisis se basa en encontrar el valor de $r$ para el cual la velocidad coordinada es cero, pero en un espacio-tiempo no estático la velocidad coordinada en un valor particular de $r$ puede ser cero en algún momento pero no cero en otros momentos, y viceversa , y mi argumento no se aplica.

Encontrar la ubicación del horizonte de eventos en un espacio-tiempo dependiente del tiempo es un problema complejo, y no puedo dar una respuesta simple como una función de $A$ y $B$ . Si está interesado, hay un artículo sobre cómo encontrar horizontes en el sitio web Living Reviews in Relativity . Esto es en el contexto de las soluciones numéricas en lugar de las analíticas, pero aun así da una buena idea de lo que se requiere.

Juan Rennie

Cualquier persona interesada en esto puede consultar la pregunta anterior de Anonymous sobre el tema , ya que mi respuesta proporciona más detalles sobre lo que nos dice la métrica.

david z

De hecho, sugeriría editar su comentario en la respuesta. (¡Buena respuesta!)

Michael Seifert

Creo que lo que has encontrado aquí es el horizonte aparente, no el horizonte de eventos. Creo que estos son los mismos si asume la invariancia de traducción del tiempo (es decir,

A

$A$ y

B

$B$ son funciones de

r

$r$ solamente), pero si no tiene eso, entonces su condición falla. Por ejemplo, en un colapso de capa delgada, la métrica es plana dentro de la capa que se derrumba, por lo que su condición diría que no hay horizonte de eventos allí. Pero el horizonte de eventos se forma dentro de esta región antes de que el caparazón se colapse por completo.

Juan Rennie

@MichaelSeifert: sí, buen punto. El OP implica que

A

$A$ y

B

$B$ son funciones solo de

r

$r$ , por lo que la métrica es estática.

Michael Seifert

@JohnRennie: ¿No se refiere el OP a

A (r, t)

$A(r,t)$ y

B (r, t)

$B(r,t)$ ?

Juan Rennie

@MichaelSeifert: Vaya, sí, cómo me las arreglé para pasar por alto eso, no lo sé. Hmm, tendré que ver si mi respuesta se puede reescribir para acomodar sus comentarios ...

qmecanico

@John Rennie: Lo siento, supongo que esto es mi culpa. incluí un

t

$t$ -dependencia en OP's

A

$A$ y

B

$B$ para la generalidad (v3).

Juan Rennie

@Qmechanic: ¡Ajá! Me preguntaba cómo diablos había logrado perder la dependencia del tiempo, y nunca se me ocurrió mirar el historial de edición :-)

jerry schirmer

No creo que se siga este argumento: los horizontes no dependen de las coordenadas, ya que son estructuras geométricas del espacio-tiempo subyacente, y no es válido evaluar nada en este sistema de coordenadas en una superficie donde

B = 0

$B=0$ , porque el sistema de coordenadas es singular allí.

jerry schirmer

Realmente, para responder a esto con cuidado, tenemos que pensar realmente qué es un horizonte. Y para un espacio-tiempo general, hay varias nociones diferentes de horizonte, y el "horizonte de eventos" es probablemente el más difícil de trabajar.

La definición formal de "horizonte de eventos" dice "Vayamos al futuro distante, tomemos cada camino de caída libre que se cruza con una singularidad, y luego rastree el pasado de esos caminos. El límite exterior de ese conjunto de caminos es el evento horizonte." Por lo tanto, si hay dinámicas en el espacio-tiempo, puede ser una pregunta complicada si estoy dentro del horizonte de eventos. ¡Incluso puedes construir espacios-tiempos donde hay regiones completamente geométricamente planas que están dentro de los horizontes de eventos!

En cambio, relajemos esto y veamos algo que sea más físico y local que esto. Lo llamaremos el "horizonte aparente". Para definir esto, busquemos dos vectores tangentes de caminos de luz a través del espacio-tiempo. los llamaremos $\ell^{a}$ y $k^{a}$ , y diremos que $\ell_{a}k^{a} = -1$ (esto siempre se puede hacer multiplicando $k_{a}$ por algún número constante). Entonces, estos dos vectores definirán una superficie bidimensional que es perpendicular a ambas direcciones tangentes, y tendrá submétrica $q_{ab}$ . Entonces, el horizonte aparente es cualquier superficie cerrada que satisfaga $q^{ab}\nabla_{a}\ell_{b} = 0$ y $q^{ab}\nabla_{a}k_{b} < 0$ (estrictamente, necesitas algunas condiciones sobre los derivados de estos tipos, pero siento que ya estoy complicando esto demasiado).

Esto parece realmente matemático, pero lo que nos dice es que para esta superficie, el rayo de luz $\ell^{a}$ simplemente flota espacialmente en su lugar, sin caer en el horizonte ni escapar de él, mientras que el rayo de luz $k^{a}$ apunta hacia otra superficie con un área más pequeña. La superficie está enfocando el rayo. Lo que esto te dice es que lo mejor que puedes hacer en esta superficie es ser un rayo de luz que no cae. Todos los demás caminos van hacia el interior de la superficie. Por lo tanto, para un espacio-tiempo general, solo tiene que ejecutar su métrica a través de este procedimiento y encontrar horizontes aparentes. Puede comprobar por sí mismo (si sabe suficiente geometría diferencial) que el horizonte aparente del espacio-tiempo de Schwarzschild se corresponde exactamente con el conocido horizonte de sucesos.

qmecanico

Ya hay una buena respuesta de John Rennie.

Aquí solo mencionaremos que si se supone que la métrica esféricamente simétrica (2) es una solución de vacío para las ecuaciones de campo de Einstein con $\Lambda=0$ , entonces el teorema de Birkhoff muestra que la métrica (2) [después de una posible reparametrización de la coordenada de tiempo $t$ ] es exactamente la métrica de Schwarzschild . Ver, por ejemplo , esta publicación de Phys.SE. En particular
$B (r, t) = 1 - \frac{R_{S}}{r}$ $B(r,t)~=~1-\frac{R_S}{r}$ se satisface automáticamente para algún parámetro de longitud $R_S$ . Por lo tanto, todavía es fácil identificar el horizonte de eventos en el caso (2). En secreto, es solo el espacio-tiempo de Schwarzschild, cuya estructura causal asumimos que OP ya conoce.
Por otro lado, para variedades generales de espacio-tiempo lorentziano $(M,g)$ , no es trivial determinar horizontes de eventos , en parte porque son propiedades globales (a diferencia de locales) de las variedades ( "Clásicamente, no sientes nada especial cuando cruzas un horizonte de eventos" ).

¿Cuál es el radio del horizonte de sucesos?

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