¿Pueden los efectos cuánticos evitar el teorema de Noether?

Supongamos que tenemos un Lagrangiano clásico con un grupo continuo de simetrías al que podemos aplicar el teorema de Noether. Hay varias formas en que la teoría cuántica de campos correspondiente puede "evitar" el teorema de Noether:

1. Es cuántico : esto debería ser algo obvio, pero el teorema de Noether es una declaración sobre la mecánica clásica y las "constantes de movimiento" a lo largo de las trayectorias clásicas. La teoría cuántica no tiene tales trayectorias: la integral de la ruta se integra en todas las rutas independientemente de si resuelven el eom, es solo que las rutas clásicas contribuyen más en la aproximación de descenso más pronunciado y, por lo tanto, el teorema de Noether simplemente no es una declaración sobre el Teoría cuántica.

   La forma en que uno argumentaría que una carga clásicamente conservada también se conserva en la teoría cuántica sería que usted argumenta que la carga de Noether conmuta con el hamiltoniano en el formalismo hamiltoniano y, por lo tanto, conmuta con el hamiltoniano cuántico después de la cuantización canónica. Sin embargo, la cuantización canónica (que reemplaza los corchetes de Poisson por conmutadores) es simplemente una heurística muy poderosa y no un mapa bien definido entre la física clásica y la cuántica en sí misma. En particular, puede ocurrir lo siguiente:

2. Anomalías cuánticas: Una simetría que es una simetría clásica del Lagrangiano no necesita ser una simetría de la teoría cuántica, en el sentido de que la invariancia del Lagrangiano no implica la invariancia de la integral de trayectoria o de la acción efectiva cuántica. Un ejemplo estándar es la anomalía quiral de la teoría electrodébil, que de hecho significa que la corriente de Noether clásicamente conservada no se conserva en la teoría cuántica. Para una discusión más general de las anomalías, vea esta respuesta . Las anomalías de las simetrías globales son fenómenos interesantes pero no amenazantes, las anomalías de las simetrías de calibre son un obstáculo para tener una teoría cuántica bien definida, y el requisito de que la anomalía total de una simetría de calibre debe desaparecer es una poderosa restricción en la construcción de modelos.

3. Términos de contacto: como se dijo anteriormente, el teorema de Noether como tal no se aplica a las teorías cuánticas. La versión cuántica se llama identidad de Ward-Takahashi , que esencialmente establece que el valor esperado de la corriente de Noether se conserva, pero solo hasta los "términos de contacto" en general. Es decir, donde tendrías eso$(\partial_\mu j^\mu) \text{stuff} = 0$Clásicamente, encuentras que

   $$\langle \partial_\mu j^\mu(x) \prod_i \phi_i(x_i)\rangle = -\mathrm{i}\sum_{j=1}^n\langle \phi_1(x_1)\dots \delta\phi_j(x_j)\dots\phi_n(x_n)\rangle,$$ dónde$\delta\phi_i$es el cambio infinitesimal clásico del campo$\phi_i$bajo la simetría en cuestión. Tenga en cuenta que esto se reduce a$\langle \partial_\mu j^\mu\rangle = 0$en el caso$n=0$.

Es importante distinguir entre simetrías locales y globales. El "teorema de Noether" generalmente se refiere a su teorema de que cada simetría global continua corresponde a una corriente conservada. Pero la prueba del teorema requiere el uso de las ecuaciones clásicas de movimiento, por lo que no se cumple en el caso cuántico. (Más precisamente, hay configuraciones de campo en las que la carga no se conserva que contribuyen a la integral de trayectoria). Además, como señala Aaron, las anomalías cuánticas pueden romper la simetría clásica y conducir a la no conservación de la corriente conservada (por ejemplo, la Las ecuaciones de vacío de Maxwell exhiben una simetría conforme que es anómala en QED y, por lo tanto, no se cumple).

Pero las simetrías locales (o de "calibre") son una historia muy diferente. Estas simetrías se mantienen incluso sin asumir las ecuaciones clásicas de movimiento (es decir, tanto "en el caparazón" como "fuera del caparazón"). Todas las configuraciones de campo que contribuyen a la integral de trayectoria respetan estas simetrías. Las simetrías de calibre (como la$\text{U}(1)$ejemplo que menciona) también corresponden a cantidades conservadas, pero estas siempre se conservan, incluso teniendo en cuenta las fluctuaciones cuánticas. (Las simetrías de calibre también pueden ser anómalas, pero en lugar de conducir simplemente a la violación de la conservación de la cantidad conservada, las simetrías de calibre anómalas le impiden cuantificar consistentemente su teoría en primer lugar, por lo que "rompen" toda la teoría).