Ruta más corta entre dos puntos cuando la restricción de pendiente inicial

Question

Ruta más corta entre dos puntos cuando la restricción de pendiente inicial

federicober

Supongamos que tenemos dos puntos $(x_0, y(x_0))$ y $(x_1, y(x_1))$ .

quiero encontrar el camino $y(x)$ que minimiza la distancia entre ambos puntos con algunas restricciones particulares:

$y\in C^\infty$ . Queremos todas las derivadas de $y$ ser continuo (porque estamos resolviendo un escenario de la vida real)
La pendiente y la altura del punto inicial son dependientes entre sí, de modo que $f(y(x_0), y'(x_0))=0$ . Dónde $f$ es conocida.

Uno de estos casos sería aquel en el que $(x_0, y(x_0))$ se encuentra en la superficie de un círculo unitario y $y'(x_0)$ es tangente a la circunferencia.

federicober

El problema real que quiero resolver es cuando la línea tangente al círculo en

y_{0}

$y_0$ forma un ángulo

θ

$\theta$ con

y^{'} (x_{0})

$y'(x_0)$

Pauca inteligente

Puedes aproximar una trayectoria poligonal (formada en tu caso por dos segmentos) con un

C^{\infty}

$C^\infty$ funcionar tan bien como quieras.

federicober

Pero si usamos una poligonal no sería

C^{\infty}

$C^\infty$ , o necesitaríamos muchos segmentos para hacer una estimación decente

Pauca inteligente

Puede usar solo dos segmentos: el primero comienza en

P_{0}

$P_0$ con la pendiente que necesites, la segunda une el final de la primera con

P_{1}

$P_1$ . El punto es que el primer segmento se puede hacer tan corto como quieras, por lo tanto, no hay un mínimo.

Respuestas (1)

Ruta más corta entre dos puntos cuando la restricción de pendiente inicial

El problema real que quiero resolver es cuando la línea tangente al círculo en $y_0$ forma un ángulo $\theta$ con $y'(x_0)$
Puedes aproximar una trayectoria poligonal (formada en tu caso por dos segmentos) con un $C^\infty$ funcionar tan bien como quieras.
Pero si usamos una poligonal no sería $C^\infty$ , o necesitaríamos muchos segmentos para hacer una estimación decente
Puede usar solo dos segmentos: el primero comienza en $P_0$ con la pendiente que necesites, la segunda une el final de la primera con $P_1$ . El punto es que el primer segmento se puede hacer tan corto como quieras, por lo tanto, no hay un mínimo.

Pauca inteligente · Answer 1

Dejar $P_0$ , $P_1$ ser los dos puntos y $\theta$ el ángulo fijo formado por la tangente en $P_0$ y línea $P_0P_1$ . Si $\theta=0$ el camino mas corto es el segmento $P_0P_1$ .

Si $\theta\ne0$ Considere el camino formado por un primer segmento $P_0P_2$ de longitud $x$ haciendo un ángulo de $\theta$ con $P_0P_1$ , unido al segmento $P_2P_1$ . Este camino no es suave, pero se puede aproximar con un $C^\infty$ curva cuya longitud es tan cercana como se quiera a la longitud del camino.

Ese camino tiene obviamente una longitud $L$ mas grande que $P_0P_1$ , pero $L\to P_0P_1$ como $x\to0$ . Por lo tanto, no hay un mínimo: puede encontrar un camino suave con las características solicitadas cuya longitud sea tan cercana como desee a la distancia. $P_0P_1$ , pero nunca puede alcanzar ese valor mínimo, que solo es posible para una línea recta.

Para que el problema tenga sentido, debe agregar alguna otra restricción, por ejemplo, una curvatura máxima de la ruta.

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