Rotación de una escalera deslizante

Imagina una escalera apoyada contra una pared. Todas las superficies son lisas. Por lo tanto, la escalera resbalará y caerá. Mientras cae, gira porque hay pares externos que actúan sobre él. Mi pregunta es sobre qué eje gira la escalera.

Respuestas (4)

Si la escalera se desliza tanto en el piso como en la pared, entonces el punto de rotación es donde se cruzan las dos fuerzas normales. Esto se debe al hecho de que las fuerzas de reacción deben pasar por el centro de movimiento instantáneo, o realizarían un trabajo.

En el siguiente diagrama, las fuerzas son rojas y las velocidades azules. Si la escalera girara por cualquier otro punto que no sea S , entonces habría un componente de velocidad que atravesaría la pared o el piso. S es el único punto que mantiene a los puntos A y B deslizándose.

Escalera

Esto lleva a que el vector aceleración del centro de masa C sea

a → C = ( ℓ 2 ω 2 pecado ⁡ θ − ℓ 2 ω ˙ porque ⁡ θ − ℓ 2 ω 2 porque ⁡ θ − ℓ 2 θ ˙ pecado ⁡ θ 0 ) α → = ( 0 0 − ω ˙ )

Si sólo actúa la gravedad, entonces

ω ˙ = metro gramo ℓ 2 pecado ⁡ θ yo C + metro ( ℓ 2 ) 2

¿Cómo averiguaste que el eje de rotación está fuera del cuerpo?
Como dije, el eje de rotación tiene que estar donde se cruzan las fuerzas de reacción. Además, es el único punto que hace que los vectores de velocidad del cuerpo rígido sean paralelos a las direcciones de deslizamiento.
@shortstheory, puedes llegar a él con la siguiente lógica. Dado que la velocidad en A tiene que ser horizontal, la rotación tiene que estar en algún lugar a lo largo de la línea vertical que pasa por A. Si el centro de rotación tiene una separación horizontal con A , entonces habrá un componente de la velocidad hacia arriba o hacia abajo que no está permitido. Para cualquier contacto deslizante, la rotación es a lo largo de la línea perpendicular. Lo mismo para B que conduce a una sola solución posible S .
@ja72 -1: En mi opinión, esta respuesta es engañosa. Es engañoso decir que de alguna manera uno se ve obligado a elegir un punto particular como la definición del eje de rotación. Claro, si exige que el punto satisfaga ciertas propiedades, entonces puede sentir que una elección en particular es natural, pero eso es una cuestión de preferencia. Busque en libros sobre mecánica analítica y verá que los físicos a menudo eligen un eje que pasa por el centro de masa y por buenas razones.
@joshphysics La elección se realiza según las restricciones y no hay otro punto que funcione en este caso. No elegí simplemente el punto S , lo hicieron las restricciones. Solo hay un punto de rotación en el plano.
@ ja72 Solo un pensamiento: la lógica detrás de colocar el punto de referencia en S era que, en el punto, los vectores de velocidad serían exclusivamente verticales y horizontales. Sin embargo, inmediatamente después de que las puntas de las escaleras abandonan sus ubicaciones iniciales, siguen un camino circular. ¿Es esto cierto? Si es cierto, ¿no tergiversa el camino circular el camino que observamos físicamente: que ambos extremos continúan horizontal o verticalmente?
Ver Polo de movimiento sobre por qué el punto S es importante. Es donde todos los vectores de velocidad son perpendiculares a sus vectores de posición. Sí , S traza un círculo, pero los extremos siguen solo un movimiento lineal.

La escalera cae porque experimenta momentos desiguales de las reacciones normales en ambos extremos. Es decir, que la superficie empuja la escalera tanto desde abajo como desde los lados. En ausencia de fuerzas de contacto tangenciales como la fricción, la escalera gira y cae.

Para resolver un problema con tal situación, puede elegir cualquier punto como origen. Si decide elegir el COM de la escalera uniforme que está en el medio de la escalera, entonces también debe saber que como la fuerza metro gramo pasa a través del COM; ¡no contribuye en absoluto a la rotación de la escalera sobre el COM! Pero si eliges uno de los extremos del origen, tendrás que considerar que metro gramo de hecho ejerce un par y contribuye a la rotación alrededor de ese eje. No hay estrictamente un eje que sea correcto elegir, puede elegir el origen a su propia conveniencia según lo requiera el problema.

La elección no es arbitraria. El movimiento plano siempre se describe como una rotación alrededor de un solo punto, y la cinemática dicta dónde está este punto en este caso. La velocidad en los extremos de la escalera debe ser paralela a la pared y al piso, o de lo contrario la escalera penetrará a través de la pared.
@ ja72: solo si insiste en describir el movimiento (instantáneo) como una rotación pura, en lugar de una rotación más una traslación. Es cierto que eso es lo que parece estar pidiendo el OP (ya que de lo contrario su pregunta no tiene mucho sentido), pero en general no me parece una forma muy útil de modelar la dinámica del cuerpo rígido.
@IlmariKaronen, en realidad lo es. En 3D, el movimiento es una rotación alrededor de una línea instantánea (y una traslación a lo largo de la línea) llamada movimiento de tornillo. Cuando se proyecta en 2D, se convierte en un punto en el plano. Es útil porque se presta a una descomposición de fuerzas a lo largo de las direcciones de reacción y activas. El problema anterior se convierte en un problema de 1 DOF con una junta de pasador virtual, en lugar de una restricción de 3 DOF + 2.
@IlmariKaronen. Cualquier rotación más traslación de un punto A se puede describir como una rotación pura alrededor de un punto P con coordenadas
X PAGS = X A − y ˙ A ω y PAGS = y A + X ˙ A ω
dónde v → A = ( X ˙ A , y ˙ A ) . Incluso en 3D, lo anterior se convierte en
r → PAGS = r → A + ω → × v → A | ω → | 2
@ja72: Tal vez venimos desde diferentes puntos de vista aquí. Estoy de acuerdo en que el truco de reducción de DoF está bien aquí (y le di un +1), pero viniendo de un fondo numérico, para uso general prefiero una representación de movimiento que a) no cambió en ausencia de fuerzas externas, b) funcionó para todas las tasas de rotación, incluido cero, y c) fue fácil de integrar (aproximadamente) con el tiempo. La traducción + rotación alrededor del CoM se ajusta a esos criterios.
Tiene razón, este método es el más adecuado para preparar y comprender un problema antes de cualquier análisis numérico. Todavía tengo una ODE al final para resolver.

Este es un caso de rotación del eje no estacionario. El eje generalmente se toma como el COM de la escalera ya que alrededor de este eje, la distribución de masa es igual en ambos lados.

No entiendo, ¿qué tiene que ver la distribución de masa simétrica con el eje de rotación?
Aunque es necesario sumar los momentos alrededor del centro de masa, el CM no está inmóvil porque la suma de las fuerzas no es cero.

desde el punto de cualquier punto de la barra, la barra gira alrededor de ese punto. Consulte la mecánica del landau.

El OP pregunta sobre el punto de rotación desde un marco inercial. Desde un sistema de coordenadas local, no hay movimiento porque la escalera es un cuerpo rígido.
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