Rompecabezas de energía cinética

El sistema S1 se mueve a velocidad constante V con respecto a S0 en una dimensión :

                 |-------------------------------------->
               S1                                      x
|--------------------------------->
S0                               x

Una partícula con masa m, se mueve a velocidad v con respecto a S1

entonces a una velocidad de v + V respecto a S0 (si podemos despreciar los efectos de la relatividad)

Energía cinética

mi s 1 = 1 2 metro v 2 (respecto a S1)

mi s 0 = 1 2 metro ( v + V ) 2 (respecto a S0)

Entonces una influencia externa cambia su velocidad.

(de S1) = v + d v

(de S0) = ( v + d v ) + V

Nueva energía cinética

mi s 1 = 1 2 metro ( v + d v ) 2

mi s 0 = 1 2 metro ( v + d v + V ) 2

Ganancia de energía de S1

1 2 metro ( v + d v ) 2 − ( 1 2 metro v 2 ) = 1 2 metro ( d v 2 + 2 v d v )

Ganancia de energía de S0

1 2 metro ( v + V + d v ) 2 − ( 1 2 metro ( v + V ) 2 ) = 1 2 metro ( d v 2 + 2 ( v + V ) d v )

Diferencia entre ganancias de energía = d v ∗ metro ∗ V

¿De dónde salió esa energía?

En esa segunda ecuación que escribiste, ¿no debería ser mi s 1 = 1 2 metro ( v + V ) 2 ? Quiero decir, solo unas pocas palabras antes de que dijiste que viaja a v + V con respecto a s1.
no debería ser la penúltima ecuación 1 2 metro ( v + V + d v ) 2 − 1 2 metro ( v + V ) 2 ?
@Zassounotsukushi sí, un error tipográfico, la diferencia sigue siendo la misma, gracias
La energía cinética es una cosa dependiente de la velocidad. Incluso sin fuerza, puede ser diferente en diferentes marcos de referencia.

Respuestas (2)

Permítanme seguir adelante y responder a la pregunta. Creo que ya tengo suficiente información. Hemos calculado dos expresiones para el cambio de energía, específicas para el marco de referencia. Voy a usar la suposición d v ≪ v y d v ≪ V , porque soy alérgico al álgebra pesada como esa.

Δ mi s 0 = 1 2 metro ( v + V + d v ) 2 − 1 2 metro ( v + V ) 2
Δ mi s 0 ≈ metro 2 ( ( v + V ) 2 + 2 ( v + V ) d v − ( v + V ) 2 ) = metro d v ( v + V )

Δ mi s 1 = metro ( d v 2 2 + v d v ) ≈ metro v d v

Así que ahí vamos, ¡sí! El cambio de energía es diferente dependiendo del marco de referencia. Pero, ¿desde qué marco de referencia se ejerció la fuerza? Imagina que una nave espacial con una masa casi infinita ejerció la fuerza para acelerar el objeto y estaba en el marco de referencia s1. Denotaré la energía cinética de la nave espacial como mi ′ . El cambio en la energía cinética de la nave espacial de acuerdo con s0 no es nada, ya que con una masa infinita, la velocidad de la nave espacial no cambia prácticamente nada y comenzó en nada.

Conservación del momento (válido tanto en s1 como en s2)

∞ Δ v ′ = − metro d v

Cambio de energía de la nave espacial en s1:

Δ mi s 1 ′ = 1 2 ∞ ( 0 2 − ( 0 − metro d v ∞ ) 2 ) = 0

Entonces, estoy bastante seguro de que voy a molestar a alguien con mi notación en esta respuesta, pero permítame continuar. Ahora, escribe la ecuación para s0.

Δ mi s 1 ′ = 1 2 ∞ ( ( − V ) 2 − ( − V − metro d v ∞ ) 2 ) ≈ 1 2 ∞ ( V 2 − V 2 − 2 V metro d v ∞ )

Δ mi s 0 ′ = − V metro d v

Ahí vas. La razón por la que s0 y s1 no estaban de acuerdo sobre el cambio de energía en el objeto de masa metro fue porque se despreció el cambio en la energía cinética de lo que sea que empujó ese objeto. Ambos marcos de referencia coinciden en que el cambio total en la energía cinética de todos los objetos combinados , o Δ mi + Δ mi ′ es igual a metro v d v , y esta es la cantidad de energía que tuvo que gastar la nave espacial para entregar ese impulso al objeto con masa metro . Esa cantidad cambiaría dada una velocidad diferente de la nave espacial.

Aquí hay una respuesta instintiva (probablemente debería pensar más antes de comprometerme con el papel): el trabajo realizado para aumentar la velocidad es mayor medido en s0 en comparación con lo que es medido en s1. Cualquier fuerza que actúe sobre la partícula actúa sobre una distancia más larga medida en s0 (pero sobre la misma duración de tiempo) que en s1.

Esto es lamentablemente incompleto: es absolutamente necesario tener en cuenta la reacción inversa en el cuerpo que empuja y la conservación del impulso.
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