Restricciones primarias para sistemas hamiltonianos restringidos

I) Suprimamos la dependencia de la posición$q^i$y dependencia temporal explícita$t$en lo siguiente, y también supongamos que el Lagrangiano$L=L(v)$es una función suave de las velocidades$v^i$, dónde$i=1, \ldots, n$. La matriz hessiana se define como

$$H_{ij}~:=~\frac{\partial^2 L}{\partial v^i \partial v^j}.\tag{1}$$

Consideremos un vecindario abierto$^1$ $V$alrededor de un punto fijo$v_{(0)}$. Ahora bien, una suposición muy importante es la llamada condición de regularidad, cf. referencias 1 y 2. Esto significa que el rango de la arpillera$H_{ij}$no debe depender del punto$v$. En otras palabras, la arpillera$H_{ij}$debe tener rango constante$r$. (La Ref. 3 asume implícitamente este punto crucial sin enfatizar su importancia).

Ahora permutamos/renombramos las velocidades$(v^1,\ldots, v^n)$tal que el$r\times r$menor$A_{ab}$es invertible en la esquina superior izquierda de la arpillera

$$H~=~ \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} ~=~ \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ CA^{-1} & 1 \end{bmatrix}}_{\text{invertible}} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & D-CA^{-1}B \end{bmatrix} \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & A^{-1}B \\ 0 & 1 \end{bmatrix}}_{\text{invertible}}. \tag{2}$$

Se supone que el cambio de nombre se realiza de la misma manera en todo el vecindario.$V$. Esto es posiblemente yendo a un vecindario abierto más pequeño (que también llamamos$V$) si necesario. (Más tarde, cuando apliquemos el teorema de la función inversa a continuación, es posible que tengamos que restringir implícitamente$V$adelante.) De la condición de rango constante se sigue que

$$D~=~CA^{-1}B. \tag{3}$$

II) A continuación realizamos la transformación singular de Legendre $v\leadsto p$. Definir funciones

$$g_i(v)~:=~\frac{\partial L(v)}{\partial v^i}, \qquad i=1, \ldots, n. \tag{4}$$

Los momentos se definen en la teoría de Lagrange como

$$p_i~:=~g_i(v), \qquad i=1, \ldots, n. \tag{5}$$

las velocidades

$$v^i~\longrightarrow~ (u^a,w^{\alpha}) \tag{6}$$

dividido en dos conjuntos de coordenadas de velocidad

$$u^a, \quad a=1, \ldots, r, \qquad\text{and}\qquad w^{\alpha}, \quad \alpha=1, \ldots, n-r, \tag{7}$$

que llamaremos velocidades expresables (no expresables) primarias, respectivamente. De manera similar, los momentos

$$p_i~\longrightarrow~ (\pi_a,\rho_{\alpha}) \tag{8}$$

dividido en dos conjuntos de coordenadas de momento

$$\pi_a, \quad a=1, \ldots, r, \qquad\text{and}\qquad \rho_{\alpha}, \quad \alpha=1, \ldots, n-r. \tag{9}$$

Las velocidades primarias expresables

$$u^a~=f^a(\pi,w), \qquad a=1, \ldots, r. \tag{10}$$

se extraen de la$r$primeras relaciones de cantidad de movimiento (5) a través del teorema de la función inversa con el$w$-variables como parámetros del espectador pasivo.

III) A continuación, defina funciones compuestas

$$h_i(\pi,w) ~:=~ g_i(f(\pi,w),w), \qquad i=1, \ldots, n. \tag{11}$$

Se sigue inmediatamente que

$$h_a(\pi,w) ~=~ \pi_a, \qquad a=1, \ldots, r. \tag{12}$$

porque las funciones$g$y$f$son el inverso del otro para fijo$w$. Diferenciación de (12) wrt.$w^{\alpha}$lleva a

$$\begin{align} 0~=~&\frac{\partial h_a(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} \cr ~\stackrel{(11)}{=}~&\left.\frac{\partial g_a(u,w)}{\partial w^{\alpha}}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. \frac{\partial g_a(u,w)}{\partial u^b} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^b(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} \cr ~\stackrel{(1)+(2)+(4)}{=}&\left.B_{a\alpha}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. A_{ab} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^b(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} . \end{align}\tag{13}$$

Teorema 1. El$h_i$-las funciones (11) no dependen de la$w$-variables.

Prueba del teorema 1:

$$\begin{align} \frac{\partial h_{\alpha}(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} ~\stackrel{(11)}{=}~&\left.\frac{\partial g_{\alpha}(u,w)}{\partial w^{\beta}}\right|_{u=f(\pi,w)} +\left. \frac{\partial g_{\alpha}(u,w)}{\partial u^a} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} \cr ~\stackrel{(1)+(2)+(4)}{=}&\left.D_{\alpha\beta}\right|_{u=f(\pi,w)}+\left. C_{\alpha a} \right|_{u=f(\pi,w)} \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\beta}} \cr ~\stackrel{(13)}{=}~&\left. \left(D_{\alpha\beta}-C_{\alpha a}(A^{-1})^{ab}B_{b\beta} \right)\right|_{u=f(\pi,w)}\cr ~\stackrel{(3)}{=}~&0.\end{align}\tag{14}$$

Fin de la prueba. El$n-r$Las relaciones de último impulso (5) ahora se convierten en$n-r$restricciones primarias funcionalmente independientes

$$\phi_{\alpha}(\pi,\rho)~:=~\rho_{\alpha}- h_{\alpha}(\pi)~\approx~0,\tag{15}$$

donde el$\approx$símbolo significa restricciones de módulo de igualdad. Las restricciones primarias (15) son claramente independientes funcionalmente ya que cada una de ellas depende de diferentes$\rho$momentos

IV) La función de energía lagrangiana se define como

$$h(v)~\stackrel{(4)}{:=}~g_i(v) v^i -L(v).\tag{16}$$

Defina el hamiltoniano como una función compuesta

$$\begin{align} H(\pi,w)~:=~&h(f(\pi,w),w)~\cr \stackrel{(10)+(11)+(16)}{=}&h_a(\pi) f^a(\pi,w) +h_{\alpha}(\pi) w^{\alpha} - L(f(\pi,w),w).\end{align}\tag{17}$$

Teorema 2. El hamiltoniano (17) no depende del$w$-variables.

Prueba del teorema 2:

$$\begin{align} \frac{\partial H}{\partial w^{\alpha}} ~\stackrel{(17)}{=}~&\left(h_a(\pi) -\left. \frac{\partial L(u,w)}{\partial u^a} \right|_{u=f(\pi,w)} \right) \frac{\partial f^a(\pi,w)}{\partial w^{\alpha}} + h_{\alpha}(\pi) -\left. \frac{\partial L(u,w)}{\partial w^{\alpha}} \right|_{u=f(\pi,w)} \cr ~\stackrel{(4)+(11)}{=}~0.\end{align} \tag{18}$$

Fin de la prueba.

V) Ejemplo con$n=2$y$r=1$. Sea el lagrangiano

$$L ~=~\frac{1}{2}\frac{u^2}{1-w}~=~\frac{u^2}{2}\sum_{n=0}^{\infty}w^n, \qquad |w|~<~1. \tag{19}$$

la arpillera

$$H_{ij}~=~\begin{bmatrix} \frac{1}{1-w} & \frac{u}{(1-w)^2} \\ \frac{u}{(1-w)^2} & \frac{u^2}{(1-w)^3}\end{bmatrix} \tag{20}$$

tiene dos valores propios$\frac{1}{1-w}+ \frac{u^2}{(1-w)^3}>0$y$0$, es decir, tiene rango constante$r=1$cuando$|w|< 1$.

La primera relación de cantidad de movimiento

$$\pi~=~\frac{\partial L}{\partial u}~=~ \frac{u}{1-w} \tag{21}$$

se puede invertir para producir

$$u~=~ (1-w)\pi. \tag{22}$$

La segunda relación de cantidad de movimiento

$$\rho~=~\frac{\partial L}{\partial w}~=~ \frac{u^2}{2(1-w)^2} ~=~\frac{1}{2}\pi^2\tag{23}$$

conduce a una restricción primaria

$$\phi~:=~ \rho -\frac{1}{2}\pi^2~\approx~0. \tag{24}$$

El hamiltoniano (17) se convierte en

$$H~=~ \pi u + \rho w -L~=~\frac{1}{2}\pi^2. \tag{25}$$

Es fácil comprobar que no existe una restricción secundaria. Fin del ejemplo.

Referencias:

1. M. Henneaux y C. Teitelboim, Quantization of Gauge Systems, (1994), pág. 5-7.

2. DM Gitman y IV Tyutin, Cuantización de campos con restricciones, (1990), pág. 13-16.

3. H. Rothe y K. Rothe, Dinámica clásica y cuántica de sistemas hamiltonianos restringidos, (2010), pág. 24-27.

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$^1$Solo haremos un argumento local, es decir, ignoraremos los problemas globales.

OP escribió

Aquí es donde termina la presentación de Rothe, y mi preocupación es que las ecuaciones de la forma $p_\alpha = h_\alpha (q, \{p_a\},\{\dot{q}_\beta\})$(2) con todo $\{\dot{q}_\beta\}$el presente todavía puede ser posible y, sin embargo, no se puede resolver para obtener más velocidades del conjunto $\{\dot{q}_\alpha\}$en términos de las coordenadas, los momentos y las velocidades restantes si no se cumplen las condiciones estipuladas en el Teorema de la Función Implícita, pues no todas las ecuaciones del tipo (2) pueden resolverse implícitamente para $\{\dot{q}_\alpha\}$. Por lo tanto, no está probado que haya $(n - R_W)$restricciones primarias de la forma $\phi_\alpha (q,p) = 0$

Sentí un malentendido de las declaraciones de Rothe, ignórame si no estoy entendiendo OP correctamente:

Rothe está argumentando al menos uno de los$\dot{q}_\beta$s se puede expresar como una función de$p_a,p_\alpha$y restantes$\dot{q}_\alpha$'s. Para cualquier particular$\alpha$en su ecuación (2), por el teorema de la función implícita aplicado a una variable ($\dot{q}_\beta$) función, siempre es factible a menos que$\frac{\partial h_\alpha}{\partial \dot{q}_\beta}=0$para nuestros elegidos$\alpha$y$\beta$, pero el último caso simplemente significa$h_\alpha$no depende de$\dot{q}_\beta$, por lo que en cualquier caso la afirmación de Rothe es correcta.

Actualizaciones:

En cuanto a la parte de la independencia funcional, si no me equivoco, es bastante trivial. Es porque en tu ecuación (2), todos los$p_\alpha$están en LHS y RHS no contiene ningún$p_\alpha$por lo tanto, es imposible encontrar una interrelación entre estas ecuaciones (plural en el sentido de que$\alpha$puede tomar muchos valores, desde$1$a$M'$). O en lenguaje de cálculo diferencial, las funciones de restricción de (2) serán$\phi_\alpha(q,p)=p_\alpha-h_\alpha(q,\{p_a\})$, por lo que el jacobiano de estas funciones será simplemente

$\frac{\partial \phi_\beta}{\partial \{p_\alpha,p_a, q\}}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdots &0&\cdots&\frac{\partial h_1}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_1}{\partial q_i}&\cdots\\ 0 & 1 & \cdots&0&\cdots&\frac{\partial h_2}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_2}{\partial q_i}&\cdots\\ \vdots & \vdots & \ddots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ 0 &0 &\cdots&1&\cdots&\frac{\partial h_{M'}}{\partial p_a}&\cdots&\frac{\partial h_{M'}}{\partial q_i}&\cdots\end{bmatrix}$

Y este jacobiano es de rango máximo debido a la submatriz de identidad de la izquierda, y esto es lo mismo que decir que estas funciones de restricción son funcionalmente independientes.

PD: Ahora no estoy muy seguro de a qué situación se referían H&T cuando dijeron$M<M'$.