Resolviendo la función potencial para una Esfera Dieléctrica en un Campo Eléctrico constante

Estaba observando la solución a la función potencial para una esfera dieléctrica (constante dieléctrica= ϵ ) de radio r = a en un campo constante mi 0 . Las condiciones de contorno fueron las siguientes:

[DÓNDE, ϕ 1 ( r , θ ) es el potencial dentro de la esfera y ϕ 2 ( r , θ ) fuera de la esfera]

1. ϕ 1 ( r = ∞ ) = mi 0 r porque ⁡ ( θ ) ;

2. ϕ 1 ( r = a ) = ϕ 2 ( r = a )

3. ϕ ( r = 0 ) es finito

4. ϵ ∂ ϕ 1 ∂ r = ∂ ϕ 2 ∂ r en r=a

La solución son las siguientes funciones potenciales:

ϕ 1 ( r , θ ) = − ( 3 mi 0 r porque ⁡ ( θ ) ) ( ϵ + 2 ) y ϕ 2 ( r , θ ) = − mi 0 r porque ⁡ ( θ ) + ( ϵ − 1 ϵ + 2 ) mi 0 ( a ) 3 porque ⁡ ( θ ) r 2

Mis preguntas son las siguientes:

a) Sobre qué terreno físico se toma la condición 3 .

b) Se escribió que la condición para la igualdad del componente de campo eléctrico tangencial en la superficie de unión está incluida dentro de la condición 2 . ¿Cómo está pasando eso?

c) También se afirmó que sólo en la superficie de los dieléctricos, la ecuación de Laplace no se cumple . Entiendo por qué las ecuaciones se mantienen dentro de la esfera y fuera de ella (la densidad de carga libre es 0), pero entonces, ¿qué está mal en la superficie?

Respuestas (2)

  1. El potencial solo puede divergir si la densidad de carga diverge, e incluso entonces solo para cargas lineales o puntuales, no para cargas superficiales. Como no hay una carga puntual o lineal en el origen, el potencial tiene que ser finito allí.
  2. La igualdad de las componentes tangentes se sigue del requisito de que el potencial sea continuo y mi = − ∇ Φ . Para obtener un rizo que no desaparezca con esa definición, tendría que tener un cambio discontinuo en Φ . Véase, por ejemplo, Φ = y Θ ( X ) ( Θ la función de paso de Heaviside).
  3. Lo que sucede en la superficie se desprende de observar la formulación macroscópica de las ecuaciones de Maxwell . Observe que en esa formulación la permitividad dieléctrica está dentro de la divergencia, por lo que si la permitividad cambia en función de la posición, obtiene una regla del producto:
    − ∇ ⋅ ( ϵ ∇ Φ ) = − ϵ ∇ 2 Φ − ( ∇ Φ ) ⋅ ( ∇ ϵ ) = 0 ,
    que no es la ecuación de Laplace. Como señaló @CStarAlgebra en otra respuesta, esto se debe a las densidades de carga de la superficie en este caso. Si ϵ varía continuamente con la posición, obtendría una densidad de carga ligada al volumen continuo.
Los entendí bastante bien. Muchas gracias @Sean E. Lake
Sin embargo, ¿puede darme una prueba para la declaración "El potencial solo puede divergir si la densidad de carga diverge" También puedo usar la ley de trazos en la superficie de unión y suponiendo que E es conservativo también puede producir "La igualdad de los componentes tangentes " .
Primera prueba: se deriva del estudio de la ley de Gauss cerca de las cargas puntuales, lineales y superficiales, también versiones difusas de las mismas (las distribuciones de carga gaussiana o uniforme son estándar). Segunda prueba: decir que "E es conservativa" es lo mismo que decir "E se puede escribir como el gradiente de una función escalar continua". Ver: descomposición de Helmholtz .
@Iccyamoy Un poco más de rigor y sugerencias para recursos más avanzados están disponibles en una pregunta que acabo de hacer sobre este tema en math.stackexchange: math.stackexchange.com/questions/2318411/…

A) La condición 3 se cumple porque el potencial nunca debería explotar hasta el infinito, estaría indefinido en ese punto. Por eso, al resolver la ecuación de Laplace con simetría azimutal, elegimos nuestra solución de manera que el potencial no diverja en la región que estamos resolviendo.

B) El potencial siempre debe ser continuo, si no fuera el campo eléctrico, el gradiente del potencial, sería infinito, una situación no física.

C) En la superficie de la esfera dieléctrica, el campo eléctrico induce una densidad de carga superficial, por lo que hay carga en la superficie del dieléctrico, pero la ecuación de Laplace solo es válida en una región sin fuentes, por lo que no se cumple. en la superficie

Buenas respuestas @CStarAlgebra. Convénzame estos: A) Por qué esa función Potencial nunca debe ser infinita. Parece que estamos decidiendo conscientemente la naturaleza de la función de antemano. ¿No debería extraerse esto como resultado de la solución? **B)**¿Cómo definiríamos el gradiente si la función no es continua? **C)**Cómo la continuidad del Potencial significa que las componentes del campo E tangencial son iguales
Resolviendo la función potencial para una Esfera Dieléctrica en un Campo Eléctrico constante
RespuestasAquíPolítica de privacidad1y, 0v