¿Cuál es la ecuación para una cuerda fija en ambos extremos sin simplificar las suposiciones?

Dejar$T(x)$Sea el módulo de la tensión y$T_x$,$T_y$sus componentes horizontal y vertical.

Supongamos que un pequeño elemento de la cadena tiene una longitud$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$. Como la tensión es la única fuerza horizontal, tenemos$T_x(x)=T_x(x+dx)$que dice$T_x=T_0$o$T(x)\cos(\theta)=T_0$.

La diferencia de tensión vertical es$T_y(x+dx)-T_y(x)=\frac{\partial T_y}{\partial x}dx$. Pero$T_y(x)=T(x)\sin(\theta)=T_0\tan\theta=T_0\frac{\partial y}{\partial x}$, entonces$T_y(x+dx)-T_y(x)=T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx$.

La fuerza vertical neta será$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx-F(x)dx-\rho g ds$, dónde$F(x)$se supone hacia abajo. Observe cómo tomamos la fuerza como proporcional a$dx$y no$ds$, suponiendo que actúa sólo sobre el ancho horizontal del elemento. Por otro lado, la masa es definitivamente proporcional a$ds$.

La fuerza neta debe ser igual a la masa por la aceleración vertical,$\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}ds$.

Esto da

$$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}dx-F(x)dx-\rho g ds=\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}ds.$$

dividiendo por$dx$, obtenemos

$$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}-F(x)-\rho g \sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}=\rho \sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$

Creo que esta es la ecuación exacta. En régimen estacionario, da una parábola para una fuerza constante si ignoramos el peso, y una catenaria para ninguna fuerza externa.

Tenga en cuenta, sin embargo, que solo se reduce a la ecuación de onda habitual$T_0\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\rho \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}$cuando ignoramos el peso, establecemos$F=0$y también asumir$\sqrt{1+\left(\frac{\partial y}{\partial x}\right)^2}\approx 1$.

La catenaria de estado estacionario surge cuando$F(x)=0$; la parábola de estado estacionario surge cuando$F(x)\gg\rho(x)g$. (Por casualidad estaba escribiendo sobre esto aquí .)

En términos más generales, podría realizar un equilibrio de fuerzas en un elemento diferencial de la cuerda para obtener

$$\frac{\partial\mathbf{T}(s,t)}{\partial s}+\mathbf{F}(s)-\rho(s)g\mathbf{k}=\rho(s)\frac{d^2 \mathbf{x}(t)}{d t^2}$$ donde los parámetros en negrita son el vector de tensión $\mathbf{T}$, fuerza distribuida $\mathbf{F}(s)$, posición del elemento $\mathbf{x}$, y el vector unitario $\mathbf{k}$en dirección vertical y $s$es la distancia a lo largo de la cuerda. A esto también hay que añadir una relación entre $|\mathbf{T}(s)|$y $ds$. Si la cadena es inextensional, por ejemplo, entonces $s$es constante Esta ecuación gobernante es independiente de la ubicación del punto final y puede acomodar fuerzas y desplazamientos en cualquier dirección y para una cuerda curva.

Puede encontrar este artículo interesante: Yong, "Strings, Chains, and Ropes" .