Derivación de la ecuación para el desplazamiento transversal de una cuerda [cerrado]

Una cuerda semi-infinita con un extremo fijo en el origen, se estira a lo largo de la mitad positiva de la$x$eje y soltado en reposo desde una posición$y=f(x)$ $(x\geq 0)$. Derive la expresión

$$y(x,t)=\frac{2}{\pi}\int_0^{\infty} \cos\alpha(at) \sin\alpha(x)\int_{0}^{\infty} f(s)\sin\alpha(s) \,\mathrm ds\,\mathrm da$$

para el desplazamiento transversal. Dejar$F(x)(-\infty<x<\infty)$denota la extraña extensión de$f(x)$y muestre cómo este resultado se reduce a

$$y(x,t)=\frac{1}{2}[F(x+at)+F(x-at)]$$

Lo que probé:

La expresion

$$y(x,t)=\frac{1}{2}[F(x+at)+F(x-at)$$

que conozco inmediatamente como la solución de De-Alembert de la ecuación de onda

Mis condiciones de contorno son

$$u_{t}(x,t)=ku_{xx}(x,t)$$

$$u(t,0)=0$$

$$u(x,0)=f(x)$$ ¿Mis condiciones de contorno son correctas?

Luego, usando la separación de variables, obtuve

$$X''(x)+\lambda X(x)=0$$

$$X(0)=0$$

y

$$T'(t)+\lambda kT(t)=0$$

Los valores propios son

$$\lambda=\alpha^2$$

Los vectores propios son

$$T(t)=\exp(-\alpha^2 kt)$$

$$u(x,t)=\int_{0}^\infty \beta(\alpha)\exp(-\alpha^2 kt)\sin(\alpha (ax)~\mathrm da$$

No estoy seguro de cómo continuar desde aquí. ¿Alguien podría explicarme cada paso del problema?