La cadena colgante - ayuda con la derivación

Estoy tratando de entender la derivación de los modos normales de una cadena colgante dada aquí [pdf].

El autor considera una cadena con densidad por unidad de longitud$\rho$colgando de un punto fijo y adopta un sistema de coordenadas con el$x$eje que apunta verticalmente hacia arriba desde el extremo suelto de la cadena en su posición de equilibrio y el$u$eje que apunta a la derecha. Los desplazamientos horizontales se consideran pequeños, de modo que las distancias a lo largo de la cadena se pueden aproximar como distancias a lo largo de$x$.

La tensión en la cadena en la posición$x$es$w(x) = \rho g x$y la fuerza de aceleración se debe a la diferencia en las componentes horizontales de la tensión en los extremos de un pequeño intervalo de cadena,$\Delta x$.

Si el segmento en$x$está desplazada de la vertical un ángulo$\alpha$, la componente horizontal de la tensión es$F(x) = w(x)\sin\alpha \approx Wu_x$. Creo que entiendo esto: si la notación$u_x$medio$\mathrm{d}u/\mathrm{d}x$. El autor dice entonces:

La diferencia de fuerza entre los puntos en el cambio [sic - creo que se refiere a "cadena"] en$x$y$x+\Delta x$es así$\Delta F = \Delta x(w u_x)_x$.

Esta parte no la entiendo. Cómo$\Delta F = w(x+\Delta x) u_x - w(x)u_x$convertirse en la expresión anterior?