Resolver la ecuación diferencial estocástica usando el factor de integración

Ahora trato de resolver la siguiente ecuación diferencial estocástica :

d X t X t = ( − 1 + 1 2 t + ( β − 1 ) X t − 1 t ) d t + α d B t ,
dónde α , β y X 0 = X 0 son algunas constantes.

Aquí lo que he probado.

Al multiplicar el factor de integración

F t = Exp ⁡ ( − α B t + α 2 t / 2 ) ,
tenemos
d Y t d t = F t F t − 1 Y t ( F ′ ( t ) + ( β − 1 ) F t − 1 Y t − 1 t ) = { ( − 1 + 1 2 t − β − 1 t ) + ( β − 1 ) mi α B t − α 2 2 t Y t t } Y t
para Y t = F t X t . Entonces esta ecuación es solo una ecuación diferencial determinista. Para la ecuación homogénea, podemos usar la separación de variables para resolver
1 Y t d Y t d t + ( 1 − β ) mi α B t − α 2 2 t Y t t = 0
con
Y t = ( ( 1 − β ) ∫ mi α B t − α 2 2 t d t + C ) − 1 .
Pero para la ecuación no homogénea
1 Y t d Y t d t + ( 1 − β ) mi α B t − α 2 2 t Y t t = − 1 + 1 2 t − β − 1 t ,
Tengo problemas para resolver. ¿Alguien puede ayudarme con el SDE anterior?

que es exactamente β t ?
β es solo una constante como 0.5. Si te refieres a B t , es una trayectoria del movimiento browniano estándar.
Veo que tu ecuación es una ecuación de Bernouilli

Respuestas (1)

d Y t d t = { ( − 1 + 1 2 t − β − 1 t ) + ( β − 1 ) mi α B t − α 2 2 t Y t t } Y t
Parece una ecuación de Bernouilli de la forma
y ′ + α ( t ) y = β ( t ) y norte

Aquí tienes norte = 2 . Dividido por Y 2 ( t ) ambos lados.

d Y t d t 1 Y t 2 = { ( − 1 + 1 2 t − β − 1 t ) 1 Y t + ( β − 1 ) mi α B t − α 2 2 t 1 t }

Luego sustituye Z ( t ) = 1 Y t , Z ′ ( t ) = − Y t ′ Y t 2 .

Z ′ ( t ) + ( − 1 + 1 2 t − β − 1 t ) Z ( t ) = − { ( β − 1 ) mi α B t − α 2 2 t 1 t }

La ecuación es ahora una ED lineal de primer orden. Usa cualquier técnica que conozcas para resolverlo (factor de integración). Pero no va a ser fácil de integrar no por el DE sino por las funciones que son realmente complicadas.

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