¿Cómo encuentras la expectativa de una variable aleatoria que involucra una función de movimientos brownianos?

Todo lo que necesitas usar aquí es que$W(t)$tiene la misma distribución que$\sqrt t N$, dónde$N$tiene una distribución normal estándar. Por lo tanto,$e^{\alpha W(t)}W(t)$tiene la misma distribución que$e^{\alpha \sqrt t N}\sqrt{t}N$y te ves reducido a calcular la integral

$$\int_{-\infty}^\infty e^{\alpha \sqrt{t} x}\sqrt{t}xf(x)\mathrm{d}x,$$ dónde$f$es la densidad de una variable aleatoria normal estándar. Será útil completar los cuadrados en la exponencial para obtener el resultado final.

Desde$W(t) = Z \sim \mathcal{N}(0,t)$puedes calcular la densidad de probabilidad de cualquier función$f(Z)$utilizando la transformación de variables. A partir de ahí, es sencillo calcular los momentos de esta nueva variable aleatoria.

Por supuesto, hay algunos casos especiales en los que sabemos que$f(W(t))$(como proceso estocástico) es una martingala. un ejemplo seria$f(W(t)) = W(t)^2 - t$y el Lema de Ito ciertamente puede ayudar a probar esto.

Luego, obtenemos la expectativa directamente usando la propiedad de la torre.