Definición de Integral Estocástica para Procesos Estocásticos Simples/Elementales bien definidos

Question

Definición de Integral Estocástica para Procesos Estocásticos Simples/Elementales bien definidos

Matemáticas
funciones simples
teoría de probabilidad
cálculo estocástico
integrales estocásticas
procesos estocásticos

Usuario086688

A menudo, los autores de libros de cálculo estocástico definen el conjunto de todos los procesos estocásticos "simples" o elementales como el conjunto de todas las funciones $H:\Omega\times[0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ tal que:

H (t, ω) := \sum_{i = 0}^{norte} h_{i} (ω) x_{(t_{i}, t_{i + 1}]} (t) \forall (t, ω) \in Ω \times [0, 1]

$\begin{equation*} H(t,\omega):= \sum_{i=0}^N h_i(\omega) \chi_{(t_i,t_{i+1}]}(t) \qquad \forall (t,\omega) \in \Omega\times[0,1] \end{equation*}$ dónde:

1) $\chi$ es la función indicadora del intervalo $(t_i, t_{i+1}]$

2) $0 = t_0 < t_1 <...< t_{N+1} = 1$ es una partición del intervalo $[0,1]$

3) $h_i$ es un $\mathscr{F}_{t_i}$ -Función medible.

Definamos $\mathscr{H}$ ser el conjunto de todos esos "procesos estocásticos simples/elementales". Ahora deja $M:\Omega\times [0,1]\longrightarrow \mathbb{R}$ ser una martingala tal que $M_0 = 0$ . Luego definen la "integral estocástica con respecto a la martingala $M$ " ser:

H ∙ METRO (ω) := \sum_{i = 0}^{norte} h_{i} (ω) ({METRO}_{t_{i + 1}} (ω) - {METRO}_{t_{i}} (ω))

$\begin{equation*} H\bullet M(\omega):= \sum_{i=0}^N h_i(\omega) \left( M_{t_{i+1}}(\omega) - M_{t_i}(\omega)\right) \end{equation*}$

Mi seria preocupación es, ¿cómo sé que esta definición está bien definida?!?!

Es decir, si tengo dos representaciones de la función $H$ , es decir

H (t, ω) = \sum_{i = 0}^{norte} h_{i} (ω) x_{(t_{i}, t_{i + 1}]} (t) \forall (t, ω) \in Ω \times [0, 1]

$\begin{equation*} H(t,\omega)= \sum_{i=0}^N h_i(\omega) \chi_{(t_i,t_{i+1}]}(t) \qquad \forall (t,\omega) \in \Omega\times[0,1] \end{equation*}$ y también:

H (t, ω) = \sum_{j = 0}^{norte} h_{j} (ω) x_{(s_{j}, s_{j + 1}]} (t) \forall (t, ω) \in Ω \times [0, 1]

$\begin{equation*} H(t,\omega)= \sum_{j=0}^N h_j(\omega) \chi_{(s_j,s_{j+1}]}(t) \qquad \forall (t,\omega) \in \Omega\times[0,1] \end{equation*}$ Entonces, ¿cómo puedo estar seguro de que:

\sum_{i = 0}^{norte} h_{i} (ω) ({METRO}_{t_{i + 1}} (ω) - {METRO}_{t_{i}} (ω)) = \sum_{j = 0}^{norte} h_{j} (ω) ({METRO}_{s_{j + 1}} (ω) - {METRO}_{s_{j}} (ω))

$\begin{equation*} \sum_{i=0}^N h_i(\omega) \left( M_{t_{i+1}}(\omega) - M_{t_i}(\omega)\right) = \sum_{j=0}^N h_j(\omega) \left( M_{s_{j+1}}(\omega) - M_{s_j}(\omega)\right) \end{equation*}$

¡Esto simplemente no me parece obvio que esta integral estocástica está bien definida! De hecho, he tratado minuciosamente de probar esto cuidadosamente, ¡pero no puedo probarlo! ¿Podría alguien proporcionar una prueba cuidadosa de esto?

¡Muchas gracias!

PD: pregunta extra...

También parece ser obvio para la mayoría de los autores que el conjunto de procesos estocásticos elementales es estable bajo productos por pares. es decir, si $H, G\in \mathscr{H}$ entonces $HG$ es también un proceso estocástico simple. Para mí, esta declaración es intuitivamente correcta, pero una vez más traté de escribir HG pero me quedé realmente atascado en la notación tratando de escribir/caracterizar HG como una función simple. ¡Cualquier ayuda en esto sería muy apreciada también!

Respuestas (1)

Definición de Integral Estocástica para Procesos Estocásticos Simples/Elementales bien definidos

gono · Answer 1

¡Buena pregunta! Usted asumió por cierto que la segunda representación de $H$ depende de lo mismo $\mathcal{F}_{t_i}$ funciones medibles $h_i$ como antes… pero eso tampoco está del todo claro (pero lo estará más adelante). Así que tienes:

H (t, ω) = \sum_{i = 0}^{norte} h_{i} (ω) x_{(t_{i}, t_{i + 1}]} (t) \forall (t, ω) \in Ω \times [0, 1]

$\begin{equation*} H(t,\omega)= \sum_{i=0}^N h_i(\omega) \chi_{(t_i,t_{i+1}]}(t) \qquad \forall (t,\omega) \in \Omega\times[0,1] \end{equation*}$

y

H (t, ω) = \sum_{j = 0}^{norte} {gramo}_{j} (ω) x_{(s_{j}, s_{j + 1}]} (t) \forall (t, ω) \in Ω \times [0, 1]

$\begin{equation*} H(t,\omega)= \sum_{j=0}^N g_j(\omega) \chi_{(s_j,s_{j+1}]}(t) \qquad \forall (t,\omega) \in \Omega\times[0,1] \end{equation*}$

Primero considere que la integral no cambia por un refinamiento de la partición original (agregando puntos adicionales a la partición y manteniendo los anteriores) porque los sumandos adicionales se cancelan. Así que llamemos a esto puntos de refinamiento $\tilde{t}_j$ y tu tienes:

H (t, ω) = \sum_{j = 0}^{L} {\tilde{h}}_{j} (ω) x_{({\tilde{t}}_{j}, {\tilde{t}}_{j + 1}]} (t)

$\begin{equation*} H(t,\omega)= \sum_{j=0}^L \tilde{h}_j(\omega) \chi_{(\tilde{t}_j,\tilde{t}_{j+1}]}(t) \end{equation*}$

Con $\tilde{h}_j = h_i$ si y si $(\tilde{t}_j,\tilde{t}_{j+1}] \subseteq (t_i,t_{i+1}]$

Y

H ∙ METRO = (\sum_{i = 0}^{norte} h_{i} x_{(t_{i}, t_{i + 1}]}) ∙ METRO = (\sum_{j = 0}^{L} {\tilde{h}}_{j} x_{({\tilde{t}}_{j}, {\tilde{t}}_{j + 1}]}) ∙ METRO

$H\bullet M = \left(\sum_{i=0}^N h_i \chi_{(t_i,t_{i+1}]}\right) \bullet M = \left(\sum_{j=0}^L \tilde{h}_j \chi_{(\tilde{t}_j,\tilde{t}_{j+1}]}\right) \bullet M$ sostiene

Luego tome una tercera partición que es un refinamiento de ambas particiones dadas al principio, por ejemplo

0 = C_{0} < C_{1} < \dots < C_{L + 1} = 1

$0=c_0 < c_1 < \ldots < c_{L+1} = 1$ que es un refinamiento de

0 = t_{0} < t_{1} < . . . < t_{norte + 1} = 1

$0 = t_0 < t_1 <...< t_{N+1} = 1$ y

0 = s_{0} < s_{1} < . . . < s_{norte + 1} = 1

$0 = s_0 < s_1 <...< s_{N+1} = 1$ .

Entonces se sostiene por un lado:

H ∙ METRO = (\sum_{i = 0}^{norte} h_{i} x_{(t_{i}, t_{i + 1}]}) ∙ METRO = (\sum_{j = 0}^{L} {\tilde{h}}_{j} x_{(C_{j}, C_{j + 1}]}) ∙ METRO

$H\bullet M = \left(\sum_{i=0}^N h_i \chi_{(t_i,t_{i+1}]}\right) \bullet M = \left(\sum_{j=0}^L \tilde{h}_j \chi_{(c_j,c_{j+1}]}\right) \bullet M$

Por otro lado:

H ∙ METRO = (\sum_{i = 0}^{norte} {gramo}_{i} x_{(s_{i}, s_{i + 1}]}) ∙ METRO = (\sum_{j = 0}^{L} {\tilde{gramo}}_{j} x_{(C_{j}, C_{j + 1}]}) ∙ METRO

$H\bullet M = \left(\sum_{i=0}^N g_i \chi_{(s_i,s_{i+1}]}\right) \bullet M = \left(\sum_{j=0}^L \tilde{g}_j \chi_{(c_j,c_{j+1}]}\right) \bullet M$

Pero comparando ambas representaciones refinadas de $H$ también tenemos:

H (t, ω) = \sum_{j = 0}^{L} {\tilde{h}}_{j} (ω) x_{(C_{j}, C_{j + 1}]} (t) = \sum_{j = 0}^{L} {\tilde{gramo}}_{j} (ω) x_{(C_{j}, C_{j + 1}]} (t)

$\begin{equation*} H(t,\omega)= \sum_{j=0}^L \tilde{h}_j(\omega) \chi_{(c_j,c_{j+1}]}(t) = \sum_{j=0}^L \tilde{g}_j(\omega) \chi_{(c_j,c_{j+1}]}(t) \end{equation*}$ lo que implica

{\tilde{h}}_{j} (ω) = {\tilde{gramo}}_{j} (ω)

$\tilde{h}_j(\omega) = \tilde{g}_j(\omega)$ y hemos terminado.

Debido a que las cosas no cambiaron con los refinamientos, siempre puede asumir que trabaja en la MISMA partición para diferentes funciones. Si no, simplemente use el refinamiento que contiene todas sus particiones dadas.

Y si asumes $H$ y $G$ tener representaciones con la misma partición debería ser fácil de calcular $HG$ directamente

Hola Gono, muchas gracias por tu cuidadosa respuesta. ¡Fue realmente perspicaz y útil! Además, el hecho de que siempre podamos trabajar sobre el mismo refinamiento, sin pérdida de generalidad, lo que demuestra que $\mathscr{H}$ es estable bajo productos por pares se vuelve extremadamente fácil!

Definición de Integral Estocástica para Procesos Estocásticos Simples/Elementales bien definidos

Usuario086688

Respuestas (1)

gono

Usuario086688

Momentos de producto de procesos CIR correlacionados [cerrado]

Leyes y momentos de los movimientos brownianos bidimensionales

Función de densidad de probabilidad del ruido gaussiano

Resolver la ecuación diferencial estocástica usando el factor de integración

Encuentre SDE satisfecho por la transformación de la solución a un SDE diferente

Probabilidad condicional del puente browniano

Pregunta de probabilidad justa de dados

Definición alternativa de submartingala, problema con el teorema de Radon-Nikodym.

La única caminata aleatoria estrictamente estacionaria en RR\mathbb{R} es degenerada

Sobre la definición de cadenas de Markov