Probar x¨=w−2x+x2x¨=w−2x+x2\ddot x = w-2x+x^2, donde w≥0w≥0w\ge0, conserva la energía

En los cursos de física solemos usar el siguiente truco: multiplicar$\ddot x = w-2x+x^2$por$\dot x$para obtener

$$\dot x \ddot x = (w-2x+x^2)\dot x \ \ \Rightarrow \ \ \frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}\dot x^2 \right) = \frac{d}{dt} \left( wx-x^2+\frac{1}{3}x^3 \right)$$ Como consecuencia, $$\frac{d}{dt}\left( \frac{1}{2}\dot x^2 - wx+x^2-\frac{1}{3}x^3 \right) = 0$$ de la que encontramos $$E = \frac{1}{2}\dot x^2 - wx+x^2-\frac{1}{3}x^3$$ es una constante del movimiento. Llámalo energía si quieres.

La expresion$F(x) = w-2x+x^2$no es la energía, sino la "fuerza" ejercida sobre la partícula (asumiendo masa igual a uno), dependiendo de su posición en el$x$eje (recuerde la segunda ley de Newton).

Por definición, la energía potencial es igual a$V(x) = - \int F(x)dx = \int(2x-x^2-w)dx = x^2 - \dfrac{x^3}{3} - wx$(no importa la constante de integración).

Ahora, en cambio, si$v = \dfrac{dx}{dt}$es la velocidad de la partícula, la ecuación dice que:

$$\frac{dv}{dt} = -\frac{dV}{dx }$$

$$\frac{dv}{dt}dx = -dV$$

$$\frac{dx}{dt}dv = -dV$$

$$vdv = -dV$$

$$vdv + dV = 0$$

$$d\left(\frac{v^2}{2} + V\right) = 0$$

Lo que implica que$\frac{v^2}{2} + V(x)$, que es la energía total (cinética más potencial) es constante a lo largo del movimiento. Esta es la derivación estándar de la conservación de la energía y es válida siempre que la fuerza sea una función de la posición únicamente (no de la velocidad ni del tiempo).