Momentos de producto de procesos CIR correlacionados [cerrado]

Solo mis pocos pensamientos sobre el problema: ¡puede ser útil!

1. Primero podría encontrar una solución implícita para los SDE...

$$\begin{align*} &d(e^{\alpha t}X_{t}) = e^{\alpha t}(\alpha \beta\, dt + \gamma \sqrt{X_{t}}\, dW_{t}^{(1)}) \\ &\quad \implies X_{t} = X_{0}e^{-\alpha t} + \beta(1-e^{-\alpha t}) + \int_{0}^{t} \gamma e^{-\alpha (t-s)}\sqrt{X_{s}}\, dW_{s}^{(1)} \end{align*}$$

y

$$\begin{align*} &d(e^{\delta t}Y_{t}) = e^{\delta t}(\delta \varepsilon \, dt + \zeta \sqrt{Y_{t}}\, dW_{t}^{(2)}) \\ &\quad \implies Y_{t} = Y_{0}e^{-\delta t} + \varepsilon (1-e^{-\delta t}) + \int_{0}^{t} \zeta e^{-\delta (t-s)}\sqrt{Y_{s}}\, dW_{s}^{(2)}. \end{align*}$$

2. Luego calcula las expectativas

$$\begin{align*} \begin{cases} \mathbb{E}_{0}[X_{t}] &= X_{0}e^{-\alpha t} + \beta (1-e^{-\alpha t}) \\ \mathbb{E}_{0}[Y_{t}] &= Y_{0}e^{-\delta t} + \varepsilon (1-e^{-\delta t}). \end{cases} \end{align*}$$

3. A continuación, por isometría de Ito, calcule las varianzas

$$\begin{align*} \mathbb{V}_{0}(X_{t}) &= \mathbb{E}_{0} \left [\left (\int_{0}^{t} \gamma e^{-\alpha(t-s)}\sqrt{X_{s}}\, dW_{s}^{(1)} \right )^{2} \right ] \\ &= \mathbb{E}_{0} \left [\int_{0}^{t} \gamma^{2} e^{-2\alpha(t-s)}X_{s} \, d[W^{(1)},W^{(1)}]_{s} \right ] \\ &= \int_{0}^{t} \gamma^{2} e^{-2\alpha(t-s)} \mathbb{E}_{0}[X_{s}]\, ds \\ &= \gamma^{2} \int_{0}^{t} X_{0}e^{-2\alpha t +\alpha s} + \beta(e^{-2\alpha t + 2\alpha s}-e^{-2\alpha t + \alpha s})\, ds \\ &= X_{0}\frac{\gamma^{2}}{\alpha}(e^{-\alpha t}-e^{-2\alpha t}) + \frac{\beta \gamma^{2}}{2\alpha}(1-e^{-\alpha t})^{2}. \end{align*}$$ y de manera similar $$\begin{align*} \mathbb{V}_{0}(Y_{t}) &= Y_{0}\frac{\zeta^{2}}{\delta}(e^{-\delta t}-e^{-2\delta t}) + \frac{\varepsilon \zeta^{2}}{2\delta}(1-e^{-\delta t})^{2}. \end{align*}$$ Todo hasta aquí concuerda con la literatura.

4. Asumir$\rho =1$ya que depende linealmente de$\rho$. El problema con la covarianza es que obtendrás

   $$\begin{align*} \mathrm{Cov}_{0}(X_{t},Y_{t}) = \rho \gamma \zeta \int_{0}^{t} e^{-(\alpha+\delta)(t-s)}\mathbb{E}_{0}[\sqrt{X_{s}Y_{s}}]\, ds, \end{align*}$$ pero entonces estás trabajando con no central$\chi$distribuciones.

5. Aquí es donde aparece un poco confuso. Ahora deberías poder usar el hecho de que$X,Y$son (a escala por factor$c_{j}$para$j \in \{1,2\}$) no central$\chi^{2}$distribuciones con grados de libertad$k_{j}$y parámetros de no centralidad$\lambda_{j}$- estos se pueden calcular a partir de los momentos. Luego deberá integrarse contra la distribución conjunta

https://projecteuclid.org/journals/annals-of-mathematical-statistics/volume-33/issue-3/The-Distribution-of-the-Product-of-Two-Central-or-Non/10.1214/aoms/ 1177704469.completo

numéricamente para obtener el resultado. Pero está integrando funciones de Bessel (del segundo tipo), así que soy bastante escéptico de que exista una buena forma cerrada.

6. Un par de comentarios: creo que es más fácil si asumes$4\alpha \beta = \gamma^{2}$Desde entonces$k=1$y proceso$U_{t} = \sqrt{X_{t}}$tiene mejores momentos. El caso extremo ($\alpha = \delta$,$\beta = \varepsilon$y$\gamma = \zeta$) también debe estar de acuerdo con$\mathbb{V}_{0}(X_{t})$.