Resolución de ecuaciones de Euler-Lagrange restringidas con multiplicadores de Lagrange (geodésicas)

Estoy tratando de resolver un problema de geodésicas de cálculo de variaciones usando multiplicadores de Lagrange, mostrando que las geodésicas de una esfera son los llamados grandes círculos. estoy usando un lagrangiano restringido

$$\int_{a}^{b}\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2+\lambda(t)G(x(t),y(t),z(t))dt$$

donde G(x,y,z) es la esfera

$$x^2+y^2+z^2 = 1$$

Calculando las ecuaciones de Euler-Lagrange, obtengo las tres ecuaciones:

$$\ddot{\vec{r}}=\frac{\lambda(t)}{2}\nabla G$$

y la restricción permanece:

$$\sqrt{x^2+y^2+z^2}=1\ \text{ or equally }\ x^2+y^2+z^2=1$$

Aplicado al círculo, encontramos:

$$\ddot{\mathbf{r}}=\lambda(t)\mathbf{r}$$

Así que ahora tenemos cuatro ecuaciones, una función lambda desconocida y 3 variables. ¿Cómo determino lambda y lo simplifico lo suficiente para resolverlo en Mathematica? Este es un material muy desconocido para mí, por lo que se agradece la ayuda.

Gracias

$\textbf{Edit: expanding on the solution provided by Qmechanic}$ Diferenciar la restricción dos veces produce lo familiar

$$\mathbf{\ddot{r}}\cdot\hat{\mathbf{r}}=-\frac{v^2}{r}$$

Y tomando el producto escalar de las ecuaciones EL con$\mathbf{\hat{r}}$y sustituyendo rendimientos

$$-\frac{v^2}{r^2}=\lambda(t)$$

Sustituyendo esto de nuevo en la ecuación original para$\lambda(t)$, encontramos eso

$$\ddot{\mathbf{r}}=-\frac{v^2}{r}\mathbf{\hat{r}}$$

Esto permite un número infinito de geodésicas, pero eligiendo la parametrización que deja v constante, esto se simplifica a

$$\mathbf{\ddot{r}}=-\mathbf{r}$$

que se puede resolver para las coordenadas cartesianas:

$$\begin{matrix} x=C_1 \sin (t)+C_2 \cos (t) \\ y=C_2 \sin (t)+C_4 \cos (t) \\ z=C_3 \sin (t)+C_6 \cos (t) \\ \end{matrix}$$

Que, con las condiciones iniciales apropiadas, forma un gran círculo entre los dos puntos.