diferenciación implícita cuando la ecuación implícita es una ecuación diferencial

Quiero encontrar la derivada/variación (creo que la variación es más correcta) de la solución de una ecuación diferencial con respecto a un parámetro de la ecuación diferencial pero sin resolver la ecuación diferencial explícitamente.

por ejemplo, considere esta ecuación diferencial X ′ ( t ) = A X ( t ) + B ( t ) , necesito encontrar la derivada de la solución con respecto a A (suponga una condición inicial paramétrica general).

En realidad, el problema surge de un problema de optimización con restricciones donde la ecuación diferencial es la restricción y la función objetivo es una función explícita de solución de la ecuación diferencial y, por lo tanto, una función implícita de los parámetros de la ecuación diferencial y necesito encontrar los parámetros óptimos.

La ecuación diferencial real es la PDE de onda que se discretiza mediante algún método como diferencia finita (la PDE de onda de segundo orden se considera como 2 ecuaciones simultáneas de primer orden y, después de la discretización, 2 conjuntos de ecuaciones apiladas), por lo que la matriz de coeficientes o los parámetros son propiedades de medio donde se propaga la onda (velocidad local de propagación de la onda).

Teniendo en cuenta que resolver el problema de optimización es el objetivo principal, y el problema debe resolverse numéricamente, cualquier aproximación de esta derivada para ser utilizada en un algoritmo de descenso de gradiente o cualquier otra solución iterativa es bienvenida.

Es X ( t ) ¿un vector o una matriz?
@AlexFrancisco, X y b son vectores y A es una matriz, pero creo que si hubiera un método general para una ecuación escalar única, podría expandirlo a un caso vectorial.
Parece que X ( t ) todavía tiene que ser resuelto primero ya que para cualquier a i , j en A ∈ METRO norte × norte ( R ) , Y = ∂ X ∂ a i , j satisface la ecuación
Y ′ ( t ) = A Y ( t ) + mi i , j X ( t ) ,
dónde mi i , j ∈ METRO norte × norte ( R ) tiene 1 como su ( i , j ) -ésima entrada y 0 como otras entradas.

Respuestas (3)

Dejar Y ser la solución a Y ′ = ( A + H ) Y + b , entonces

Y ′ − X ′ = ( A + H ) ( Y − X ) + H X
de modo que en primer orden para H = ϵ Δ A y Y = X + ϵ Δ X obtenemos para la derivada direccional
Δ X ′ = A Δ X + H X
Esto tiene una fórmula de solución explícita, pero habrá términos como ∫ mi − s A H mi s A b ( s ) d s involucrado donde no se puede extraer H ya que en general no conmuta con A .

Gracias. He editado mi pregunta después de tu respuesta. mi principal problema es resolver un problema de optimización con restricciones. Esperaba usar un algoritmo de descenso de gradiente después de obtener este derivado que parece imposible.

Dejar

X ′ ( t ) = A X ( t ) + B ( t ) , X ( t 0 ) = X 0 ,
X ^ ′ ( t ) = A ^ X ^ ( t ) + B ( t ) , X ^ ( t 0 ) = X 0 ,
X ¯ ( t ) = X ^ ( t ) − X ( t ) ,
A ¯ ( t ) = A ^ ( t ) − A ( t ) ,
entonces
( mi − A t X ( t ) ) ′ = mi − A t B ( t ) ,
( mi − A ^ t X ^ ( t ) ) ′ = mi − A ^ t B ( t ) ,
( mi − A ^ t X ^ ( t ) − mi − A t X ( t ) ) ′ = ( mi − A ^ t − mi − A t ) B ( t ) ,
( mi − A ^ t X ^ ( t ) − mi − A t X ( t ) ) | t 0 t = ∫ t 0 t ( mi − A ^ t − mi − A t ) B ( t ) d t ,
mi − A ^ t X ^ ( t ) − mi − A t X ( t ) = ( mi − A ^ t 0 − mi − A t 0 ) X 0 + ∫ t 0 t ( mi − A ^ t − mi − A t ) B ( t ) d t ,
X ¯ ( t ) = ( mi A ¯ t − 1 ) X ( t ) + ( mi A ¯ ( t − t 0 ) − mi A ¯ t ) mi A ( t − t 0 ) X 0 + mi A ^ t ∫ t 0 t ( mi − A ^ t − mi − A t ) B ( t ) d t .

si multiplicamos X ′ ( t ) = A X ( t ) + B ( t ) por mi − t A obtenemos

mi − t A ( X ′ ( t ) − A X ( t ) ) = mi − t A B ( t )
o
( mi − t A X ( t ) ) ′ = mi − t A B ( t ) ,
y por lo tanto, fijando un τ en el dominio de B ( t ) , entonces
mi − t A X ( t ) − mi − τ A X ( τ ) = ∫ τ t mi − s A B ( s ) d s
o equivalente
X ( t ) = X ( t ; A ) = mi ( t − τ ) A X ( τ ) + ∫ τ t mi ( t − s ) A B ( s ) d s .
Si A = ( a i j ) , entonces
∂ ∂ a i j X ( t ; A ) = ∂ ∂ a i j mi ( t − τ ) A X ( τ ) + ∫ τ t ∂ ∂ a i j mi ( t − s ) A B ( s ) d s

Gracias. El uso del operador de propagación es una forma de encontrar una solución explícita. El problema es el cálculo de la derivada de este operador con respecto a los elementos de la matriz A que parece imposible de dar una forma cerrada (considerando la expansión de la función exponencial de Taylor y tomando derivadas con respecto a los elementos de A)
diferenciación implícita cuando la ecuación implícita es una ecuación diferencial
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