Todas las soluciones generales de la ecuación diferencial satisfacen las condiciones de contorno - ¿Cómo interpretar?

Question

Todas las soluciones generales de la ecuación diferencial satisfacen las condiciones de contorno - ¿Cómo interpretar?

Matemáticas
ecuaciones diferenciales ordinarias

contra

Estoy resolviendo la siguiente ecuación diferencial:

3 z^{2} {tu}^{'} (z) - 2 tu (z)^{2} - z tu (z) + 2 = 0

$3z^2 U'(z) -2 U(z)^2 - z U(z) + 2 = 0$

Tengo dos condiciones de contorno: $U(0)=1$ , $U'(0) = -\frac{1}{4}$ , sin embargo, es evidente que el conjunto de soluciones a esta ecuación, antes de imponer las condiciones iniciales, satisfacen la primera condición inicial $U(0)=1$ . Mirando la ecuación diferencial, esto se debe a que se puede reorganizar para:

[tu (0)]^{2} = 1

$[U(0)]^2 = 1$

Por lo tanto, es evidente que todas las soluciones generales deben ajustarse a esta condición. Además, a través del "experimento numérico", creo que la condición de la primera derivada también debería cumplirse (aunque no puedo probarlo a partir de la ecuación diferencial).

No estoy seguro de poder establecer la constante de integración como quiera, ya que esto cambia el comportamiento de la solución. Sin embargo, puedo simplificar mucho la solución eligiendo valores "convenientes" de esta constante.

También la función resultante es una función de $\frac{1}{z}$ , por lo que en realidad no se puede evaluar en 0, por lo que he estado usando límites, lo que se siente bastante dudoso matemáticamente.

Esta es una peculiaridad con la que no me he enfrentado antes. ¿Cómo debo interpretar esto exactamente?

hmakholm sobra a Monica

Es

z

$z$ un parámetro o la variable independiente?

contra

Variable independiente, lo siento. No es una notación típica, así que lo dejaré más claro.

Bill cocinero

El verdadero problema es que

3 z^{2} = 0

$3z^2=0$ cuando

z = 0

$z=0$ , por lo que no puede aplicar el teorema fundamental de existencia/unicidad. De hecho, su cálculo (forzando

U (0)^{2} = 1

$U(0)^2=1$ ) muestra que esta ecuación no tiene solución si tratamos de imponer una condición inicial donde

U (0)^{2} \neq 1

$U(0)^2\not=1$ .

Respuestas (1)

Todas las soluciones generales de la ecuación diferencial satisfacen las condiciones de contorno - ¿Cómo interpretar?

Variable independiente, lo siento. No es una notación típica, así que lo dejaré más claro.
El verdadero problema es que $3z^2=0$ cuando $z=0$ , por lo que no puede aplicar el teorema fundamental de existencia/unicidad. De hecho, su cálculo (forzando $U(0)^2=1$ ) muestra que esta ecuación no tiene solución si tratamos de imponer una condición inicial donde $U(0)^2\not=1$ .

hmakholm sobra a Monica · Answer 1

Asumiré que estás interesado en $z\ge 0$ ; para $z\le 0$ puedes girar todo 180° sobre el origen y satisfacer la misma ODE.

No necesariamente tienes $U(0)=1$ ; también puede ser $-1$ . Entonces, la primera condición de contorno no es completamente superflua.

Supongamos que tenemos tal solución, y que es razonablemente suave, en particular que $U'(z)$ está limitado en $[0,\epsilon]$ . Entonces para lo suficientemente pequeño $z$ , el $z^2$ término será insignificante, por lo que sólo tenemos que resolver $-2U^2-zU+2=0$ para $U$ . La fórmula cuadrática da

tu \approx \frac{z \pm \sqrt{z^{2} + dieciséis}}{- 4} \approx \frac{- 1}{4} z \mp 1

$U\approx\frac{z\pm\sqrt{z^2+16}}{-4} \approx \frac{-1}{4}z \mp 1$ por lo que su segunda condición de contorno se satisface automáticamente para cualquier solución que se comporte bien y que esté definida para

z = 0

$z=0$ .

Imagina que conocemos un "verdadero" $U(z_0)$ para algunos $z_0>0$ . Asumir que $z_0$ es "no demasiado grande" tal que $U(z_0)>0$ . ¿Qué sucede con la solución general con $f(z_0)=U(z_0)+\varepsilon$ ? por un fijo $z_0$ , la ecuación diferencial nos dice que $f'(z_0)$ debe ser mayor o menor que $U'(z_0)$ de acuerdo a si $\varepsilon$ es positivo o negativo. Pero eso significa que cuando seguimos $f$ hacia atrás desde $z=z_0$ hacia $z=0$ , la diferencia absoluta entre $U$ y $f$ disminuye monótonamente a medida que $z$ disminuye, por lo que $f$ también golpea $f(0)=1$ , y por el argumento anterior, $f'(0)=-1/4$ también.

Por lo tanto, como especula, sus condiciones de contorno no son suficientes para seleccionar una solución particular: la ODE tiene una singularidad en $(0,1,-1/4)$ .

No se pueden tener soluciones para todos los valores posibles de $f(z_0)$ aunque; si configuras $f(z_0)$ demasiado bajo y extenderse hacia $z=0$ , explotará hacia $-\infty$ en lugar de ser atraído por el $(0,1)$ singularidad. Justo en el límite entre estas dos posibilidades debería haber una única solución inestable con $f(0)=-1$ .

Un camino a seguir podría ser encontrar la solución única para $z\le 0$ que golpea $U(0)=1$ , y luego trate de continuarlo analíticamente a través de la singularidad. Sin embargo, no estoy muy seguro de cómo hacerlo, y es posible que ni siquiera tenga ningún sentido particular en su aplicación (sea lo que sea).

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hmakholm sobra a Monica

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Bill cocinero

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hmakholm sobra a Monica

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