Ecuación de Euler-Lagrange, Multiplicadores de Lagrange y optimización

Solo estoy leyendo una sección de notas sobre los multiplicadores de Lagrange y la ecuación de Euler Lagrange y me vendría bien una pequeña aclaración para asegurarme de que no me falta algo:

Estamos buscando encontrar los extremos de

$$J(\textbf{u}) = \int_{0}^{\pi} \frac{|u'|^{2}}{2} dx$$ para$u \in U = \{u \in C^{1}[0,\pi]: u(0) = u(\pi) = 0\}$sujeto a la restricción $$\int_{0}^{1} u^{2}(x)~dx = 1$$

ahora entiendo que el procedimiento es encontrar soluciones de la ecuación de euler-lagrange cuando se aplica al funcional aumentado$\Lambda_{\lambda} = \Lambda + \lambda \Gamma$dónde$\Lambda$es el lagrangiano de la función de la que queremos encontrar los extremos (en este caso J),$\Gamma$es el Lagrangiano de las restricciones, y$\lambda$es el multiplicador de Lagrange.

Dado que estamos buscando que las restricciones también desaparezcan, es decir, para

$$K(\mathbf{u}) = \int_{a}^{b} \Gamma(x,\mathbf{u},\mathbf{u'})~dx = 0$$ las notas así han definido a K como $$K(\mathbf{u}) = \int_{0}^{\pi}\left[ \frac{u^2}{2}-\frac{1}{2 \pi}\right] dx$$

Esto no me parece obvio tal como está. Si es simplemente porque requerimos que desaparezca la restricción y hasta ahora hemos

$$\int_{0}^{1} u^{2}(x)~dx = 1$$ entonces parece obvio establecer $$K(\mathbf{u}) = \int_{0}^{\pi} u^{2}(x)~dx - 1 \implies \int_{0}^{\pi} u^{2}(x)~dx - \int_{0}^{\pi}\frac{1}{\pi} dx \implies \int_{0}^{\pi} u^{2}(x) - \frac{1}{\pi}~dx$$ tiene el factor de$\frac{1}{2}$sido introducido simplemente por J? quiero decir desde$K(\mathbf{u}) = 0$esto parece una operación legítima. y da un agradable funcional aumentado de $$J_{\lambda} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \left[ |u'|^2 + \lambda \left( u^{2}-\frac{1}{\pi}\right)\right] dx$$ y entonces todo esto parece estar bien y vale la pena. pero como no ha habido explicación, quiero asegurarme de que no haya otra razón para esta elección de K

Gracias de antemano, lo aprecio.

Como nota al margen descarada: ¡como inglés, mantengo mi derecho a escribirlo con una s! :PAG