Requisito de datos para determinar la proporcionalidad

El análisis dimensional nos permite escribir la solución a cualquier sistema físico en la forma

$$f(\Pi_0, \Pi_1, \Pi_2, \dots) = 0$$ donde el $\Pi$s son constantes adimensionales independientes formadas a partir de nuestros parámetros físicos dimensionales.

Por lo general, hay un parámetro físico particular que nos interesa calcular y, por lo tanto, al cambiar la escala de nuestros parámetros adimensionales entre sí, podemos hacer que nuestro parámetro físico de interés aparezca solo en una de las constantes adimensionales. En ese punto, podemos imaginarnos resolviendo esta ecuación para ese parámetro adimensional obteniendo una relación de la forma

$$\Pi_0 = g(\Pi_1, \Pi_2, \dots)$$ dónde $g$es una función no especificada que tendrías que determinar mediante un experimento.

A veces, los problemas que consideramos son lo suficientemente simples como para que solo se pueda formar un único parámetro adimensional independiente, de modo que tengamos$f(\Pi) = 0$o equivalente

$$\Pi = C$$ dónde $C$es una constante.

Como un ejemplo un tanto trivial, digamos que queríamos calcular el área de un círculo y habíamos olvidado cómo hacerlo. Hay dos parámetros físicos de interés, el área$A$con dimensiones$[L^2]$y el radio$r$con dimensiones$[L]$. Dados dos parámetros dimensionales en una dimensión, solo hay un único parámetro dimensional independiente que podemos formar, por lo que sabemos que la ley física tiene que tomar la forma

$$f(\Pi) = 0 \qquad \Pi = \frac{A}{r^2}$$ que es equivalente a $$A = C r^2$$ Y solo necesitamos hacer un solo experimento para determinar la constante de proporcionalidad. (En este caso es $\pi$)

Pero es raro que tengamos un solo parámetro adimensional y, por lo tanto, podamos reducir el problema a uno de proporcionalidad directa. Tomemos por ejemplo el problema de determinar el período de un péndulo. Primero recopilemos los parámetros físicos que creemos que son importantes, el período en sí$T$, la masa$m$, la longitud$l$el ángulo inicial$\theta_0$y la gravedad$g$. Tienen sus respectivas dimensiones:

$$T : [T] \quad m : [M] \quad l : [L] \quad \theta_0 : [1] \quad g : [ L T^{-2} ]$$ Estos son 5 parámetros físicos en 3 dimensiones ( $[M], [L], [T]$), por lo que solo tenemos dos parámetros adimensionales independientes que podemos formar, usemos la descomposición $$\Pi_0 = \frac{T^2 g}{l} \qquad \Pi_1 = \theta_0$$ y entonces lo mejor que podemos decir con el análisis dimensional es $$f(\Pi_0 , \Pi_1 ) = 0$$ o equivalente $$\Pi_0 = g(\Pi_1)$$ $$T = \sqrt{\frac{l}{g}} g(\theta_0)$$ pero eso es lo más lejos que podemos llegar. En principio $g$puede ser una función arbitraria y no podemos saber cuántas medidas se necesitarían para especificar. De hecho, en este ejemplo particular podemos resolver para $g$numéricamente y hallar:

Tenga en cuenta que esta es una ecuación completamente general, una que no podríamos determinar en principio con ningún conjunto finito de experimentos. (Observe también que en el límite del ángulo bajo, la función es aproximadamente plana y casi$2\pi$, que es la respuesta para un péndulo lineal).

Pero. Hay dos cosas que pueden ayudar a mantener el análisis dimensional sano y útil. La primera es que cuando podemos reducir un problema a un solo parámetro adimensional, suele ser el caso que el valor de ese parámetro adimensional (es decir, la constante de proporcionalidad) es típicamente de orden 1 (probablemente porque como un número puro no no tengo ninguna razón para no serlo). En nuestro ejemplo de área anterior, por ejemplo, la constante faltante de proporcionalidad era$\pi \sim 3.14$que es de orden 1.

Y la segunda cosa, que es particularmente útil, es que el mundo físico tiende a tener soluciones cuerdas y casi constantes en los extremos. Es decir, una de nuestras soluciones físicas de la forma

$$f(\Pi_0, \Pi_1, \Pi_2, \dots ) = 0$$ tenderá a ser constante (generalmente de orden uno) en el límite de que uno de los $\Pi$s es muy pequeño ( $\ll1$) o muy grande ( $\gg 1$).

Este es precisamente el comportamiento que vemos para el período de nuestro péndulo. En el límite de ángulos pequeños, la función se comporta bien y se aproxima a una constante de orden 1 aproximadamente (en este caso$2 \pi \sim 6.28$).

Esto tiene implicaciones más amplias que generalmente no se muestran a los estudiantes cuando se les presenta por primera vez el análisis dimensional.

Por ejemplo, rebobinemos e imaginemos que hicimos un mal trabajo al construir nuestra lista de posibles parámetros físicos para el péndulo, por ejemplo, digamos que estábamos en nuestra primera clase cuántica y pensamos$\hbar$seria importante Esto habría introducido otro parámetro dimensional, por lo que tendríamos

$$\Pi_2 = \frac{ \hbar^2 }{ m^2 g l^3}$$ y nos habría quedado como nuestra solución más general $$T = \sqrt{ \frac{l}{g} } h( \theta_0, \Pi_2 )$$ y parecería que estamos peor de lo que estábamos al principio. Con qué crueldad se nos premia por tratar de obtener una respuesta más precisa. Pero, vamos a evaluar el valor real de este $\Pi_2$para un péndulo razonable, digamos uno de 1 kg, 1 metro de largo en gravedad terrestre, en este caso $\Pi_2 \sim 10^{-69}$y esperamos que su dependencia funcional sea tan buena como una constante y podemos tomar la aproximación $$h(\theta_0 , \Pi_2 ) \sim g(\theta_0)$$ esa es una función general $h$donde su segundo parámetro se está desvaneciendo, parece alguna otra función solo de su primera variable.

De hecho, si quisiéramos ponernos filosóficos, un péndulo real debería describirse mejor como un objeto cuántico para empezar, por lo que seguramente debería haber alguna dependencia real de$\Pi_2$, aunque perdóname si no lo encuentro analíticamente. Pero, dado que estamos interesados ​​en un péndulo clásico , donde clásico en este caso significa la declaración precisa

$$m^2 g l^3 \gg \hbar^2$$ estamos completamente justificados al ignorar la contribución cuántica a nuestro péndulo, al igual que en los cursos introductorios, si solo está interesado en la excitación de ángulo pequeño de un péndulo, es probable que ignore la dependencia funcional completa de $\theta_0$y en su lugar decir que contribuye solo con una constante multiplicativa.

Apéndice: Período de péndulo

Tenemos para un péndulo real

$$\frac 12 l^2 \dot \theta^2 - g l \cos \theta = gl \cos \theta_0$$ Lo manipulamos en la forma $$dt = \sqrt{\frac{l}{g}} \sqrt 2 \frac{ d\theta }{ \sqrt{ \cos \theta - \cos \theta_0 } }$$ que podemos integrar por un trimestre para obtener el período completo $$T \sqrt{ \frac{g}{l} } = 2 \sqrt 2 \int_{\theta_0}^0 \frac{ d\theta }{ \sqrt{ \cos \theta - \cos \theta_0 } }$$ que es la ecuación que grafiqué arriba en 1 .