La mejor manera de calcular la aceleración promedio en experimentos de laboratorio

Durante la fase de aceleración, el movimiento del objeto se puede modelar con la curva cuadrática

$$x=x_0 + v_0t+\frac{1}{2}at^2 \qquad\text{where } x_0 \text{ is the initial position, and }v_0 \text{ is the initial velocity}$$ Durante la fase de velocidad constante, el movimiento del objeto se puede modelar con la ecuación lineal $$x=x_1 + v_1(t-t_1)$$ dónde $x_1$, $v_1$, y $t_1$son la posición, la velocidad y el tiempo al final de la fase de aceleración.

El gráfico de posición versus tiempo será similar a la imagen de abajo. La porción roja de la curva es la fase de aceleración y la azul es la fase de velocidad constante.

Entonces ahora solo necesita ajustar sus datos a la curva. Los parámetros que puede variar son

• $x_0$la posición inicial
• $v_0$la velocidad inicial
• $a$la aceleración
• $t_1$el tiempo al final de la fase de aceleración

Las cantidades derivadas son

• $x_1$este es el valor de$x$en el momento$t_1$, calculado usando la primera ecuación
• $v_1$esto es$v_0 + a t_1$

Para encontrar el mejor ajuste, necesita escribir un programa de computadora que pruebe todos los valores razonables para$x_0$,$v_0$,$a$, y$t_1$. Para cada conjunto de parámetros, calcule el error cuadrático. Encuentre los parámetros que producen el mínimo error cuadrático y el valor de$a$en esos parametros esta la aceleracion que buscas.

Pseudocódigo para calcular el error cuadrático para un único conjunto de parámetros:

total = 0
for ( each t )
{
    if ( t < t1 )
        x = x0 + v0*t + 0.5*a*t*t
    else 
        x = x1 + v1*(t-t1)

    error = actual_measured_x(t) - x

    total += error * error
}

El valor promedio de la aceleración solo debe depender de la velocidad inicial y final y el intervalo de tiempo entre ellos. Dado que el valor promedio de una función en el intervalo de a a b es la integral de la función de a a b dividida por (ba) , y dado que la integral de la aceleración te da la velocidad, entonces si los límites son$t_1$y$t_2$la velocidad promedio se reduciría a simplemente:

$$a_{avg}=\frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$$

Entonces, si solo puede medir la posición y el tiempo, quizás su mejor apuesta sería medir 2 puntos muy cerca uno del otro al principio y aproximar la velocidad inicial que sería su$v(t_1)$, y luego 2 puntos más se acercan al final para aproximar la velocidad final$v(t_2)$.