Convertir la velocidad de impacto en magnitud de presión

Antecedentes
Existe una buena referencia ¹ sobre la física del sonido/ondas de choque en sólidos (consulte el Capítulo XI). Encontré lo siguiente (en la página 688) muy interesante y relevante para su pregunta:

En un sólido o líquido, una onda de choque con una fuerza de incluso cien mil atmósferas se considera débil. Tal onda difiere poco de una onda acústica: viaja con una velocidad cercana a la velocidad del sonido, comprime el material solo en un pequeño porcentaje o quizás del orden del diez por ciento, e imparte una velocidad al material detrás del frente que es del orden de una décima parte de la velocidad de la onda misma... entonces una onda de choque fuerte para medios condensados ​​es aquella cuya presión no es inferior a decenas o cientos de millones de atmósferas.

Definamos$P$como la presión y$\varepsilon$como la energía interna de un material sólido. Estos se pueden dividir en dos partes: un elástico (subíndice$c$) y parte térmica.$P_{c}$y$\varepsilon_{c}$dependen únicamente de la densidad del material,$\rho$, o el volumen específico,$V$=$1/\rho$. Estos son iguales a la presión total y la energía interna específica en el cero absoluto o$T = 0 \ K$. Supongamos que el volumen específico en$T = 0$y$P = 0$es dado por$V_{oc}$, que es solo ~ 1-2% más pequeño que el volumen específico en STP ,$V_{o}$, para la mayoría de los metales.

La curva de energía potencial, o curva que define$\varepsilon_{c}$, es cualitativamente similar a la curva de energía potencial que describe la interacción entre dos átomos en función de la distancia intranuclear,$\Delta x_{n}$. Cuando$V > V_{oc}$, las fuerzas de atracción dominan pero disminuyen rápidamente a medida que aumentan las distancias intranucleares (p. ej., a medida que$T$aumenta). En otras palabras, cuando los átomos se alejan más$\varepsilon_{c}$aumentará asintóticamente a algún valor$U$, que es aproximadamente la energía de enlace de los átomos en el cuerpo. De este modo,$U$representa la energía requerida para eliminar todos los átomos del objeto hasta el infinito, que es aproximadamente igual al calor de vaporización del material (escribí algunos detalles más sobre el calor de vaporización y proporcioné varios enlaces útiles en esta respuesta ). Por ejemplo, el calor de atomización (similar a la vaporización) para el hierro es aproximadamente$415 kJ mol^{-1}$o ~4,3 eV/átomo. De este modo,$\varepsilon_{c} (V) \rightarrow U$como$\Delta x_{n} \rightarrow \sim 2$.

Por el contrario, las fuerzas repulsivas dominan si$V < V_{oc}$. Podemos definir esto cuantitativamente considerando que el trabajo realizado al comprimir el material será igual al aumento de energía interna. En otras palabras:

$$P_{c} = - \left( \frac{ d \varepsilon_{c} }{ d V } \right)_{T = 0}$$ lo que equivale a decir que es la ecuación isotérmica / isoentrópica para la compresión en frío. El signo negativo muestra que si se aplicara una fuerza de tracción al cuerpo, las fuerzas de unión entre los átomos actuarían como una fuerza restauradora. la pendiente de la $P_{c}$curva en $P = 0$(o 1 atm) define la compresibilidad del material en condiciones normales (es decir, $T = T_{o} \sim 300 \ K$). Esto viene dado por: $$\kappa_{o} = - \frac{ 1 }{ V_{o} } \left( \frac{ \partial V }{ \partial P } \right)_{T_{o}}$$ Tenga en cuenta que la pendiente de $\kappa_{o}$define la velocidad de las ondas elásticas dentro del objeto. Así, definamos la velocidad del sonido en el sólido como esta velocidad, dada por: $$C_{o} = \sqrt{ - V^{2} \left( \frac{ \partial P }{ \partial V } \right)_{S} }$$ donde el subíndice $S$indica una derivada isoentrópica y la derivada parcial será negativa para evitar velocidades imaginarias del sonido.

Aproximación simple
de orden cero Mi suposición instintiva es que el enfoque más simple, dado que asume relaciones de colisión elásticas, es simplemente aproximar el$\Delta \varepsilon_{c}$por la energía cinética final de su objeto impactante, asumiendo que el impactado (?) No se mueve después del impacto.

Aproximación de primer orden
[Lo siguiente proviene del Capítulo XI, Secciones 3.14-3.16 en la Referencia 1]

A continuación consideraremos los efectos en una barra cilíndrica (usada por simetría y simplicidad).

Para pequeñas deformaciones, el cambio relativo en volumen,$\Delta V/V$, es dado por:

$$\frac{ \Delta V }{ V } = - \kappa \ P = - \frac{ P }{ K }$$ dónde $K = 1/\kappa$es el módulo volumétrico .

Definamos$C_{1}$como la velocidad de una onda de compresión en el material debido a la aplicación de una presión constante,$P$, aplicado a un extremo de la varilla en algún momento inicial. El material entre el frente de onda y el extremo de la barra se contrae a una velocidad constante,$u$. Bajo estas condiciones, podemos usar la ley de Hooke y demostrar que para cargas y deformaciones pequeñas tenemos:

$$\frac{ u }{ C_{1} } = \frac{ P }{ E }$$ dónde $E$es el módulo de Young . Después de algún tiempo, $t$, la masa de material abarcada por la onda adquirirá un impulso $\rho \ C_{1} \ t \ u$, que debe ser igual a $P \ t$de la ley de Newton, que nos da: $$P = \rho \ u \ C_{1}$$

Respuesta más detallada
Desafortunadamente, no tengo tiempo para realizar la derivación completa, pero sugiero el Capítulo XI en la Referencia 1 y uso la Referencia 2 para obtener información de apoyo. Zel'dovich y Raizer básicamente pasan todo el Capítulo XI discutiendo este tema y analizan todos los matices que se aplicarían a su problema (por ejemplo, la onda de presión inducida por la compresión de la onda de choque). Supongo que gran parte necesitará un análisis numérico, pero hay puntos de partida y aproximaciones que son analíticas que probablemente le ahorrarán mucho tiempo.

Referencias

1. Zel'dovich, Ya.B. y Yu.P. Raizer (2002) Física de ondas de choque y fenómenos hidrodinámicos de alta temperatura , ed. por WD Hayes y RF Probstein, Mineola, NY, Dover Publications, inc., The Dover Edition; ISBN-13: 978-0486420028.
2. Whitham, GB (1999), Ondas lineales y no lineales , Nueva York, NY: John Wiley & Sons, Inc.; ISBN: 0-471-35942-4.