¿Qué sugiere un gráfico logarítmico natural curvo?

Lo siento si esto es bastante simple, pero recién comencé a aprender sobre el uso de logaritmos en física experimental.

Hice un experimento para probar la cantidad de tiempo que tardaría una cantidad de agua en salir de una bureta. Usé el volumen inicial de agua en la bureta como variable de control, 50 C metro 3 . Anoté el tiempo que tardó en quedar un volumen dado de agua en la bureta. Por ejemplo, 10 C metro 3 izquierda tomó un tiempo de aproximadamente 71 s ; 45 cm 3 izquierda tomó aproximadamente 6 s , y luego muchos valores intermedios.

Esperaría que esto representara un decaimiento exponencial, ya que diferentes concentraciones y masas de agua en la bureta tendrían diferentes efectos en la velocidad del agua que sale de la bureta. (Corrígeme si estoy equivocado.)

Así que tracé un gráfico de volumen contra el tiempo y mostró un decaimiento exponencial, pero solo estaba muy ligeramente curvado, pero curvado de todos modos.

Así que decidí trazar un gráfico de en ⁡ ( V / cm 3 ) contra tiempo/s. Sin embargo, esto no produjo una línea recta. Si tuviera que seguir los puntos trazados con una curva, el gradiente de la línea habría sido negativo y aumentado en 'magnitud' negativa.

Estoy destinado a analizar el grado de si mi experimento muestra o no un decaimiento exponencial. Estoy bastante atascado, porque mi gráfico original muestra un decaimiento muy leve, mientras que mi gráfico de registro no es una línea recta. ¿El hecho de que el gráfico logarítmico no produzca una línea recta muestra que no hay decaimiento exponencial? ¿No importa? ¿Habría sido correcto si hubiera habido muy pocos errores/incertidumbres experimentales (habría habido muchos)?

Así que supongo que, fundamentalmente, mi pregunta es:

¿Qué sugiere la línea curva en mi gráfico logarítmico natural?

Realmente debería incluir los gráficos en su pregunta, de lo contrario, es difícil determinar qué está sucediendo exactamente.
Además, solo para verificar: si la velocidad a la que el agua sale de la bureta es proporcional a la cantidad de agua dentro de la bureta, entonces lo que se espera es una caída exponencial. (pero puede haber otros factores, por supuesto)
@NeuroFuzzy tiene razón. Si la tasa de flujo es proporcional a la presión en el orificio (altura), entonces debería ver una caída exponencial. Sin embargo, eso solo es cierto en el límite viscoso. Para el flujo no viscoso, la tasa de flujo es proporcional a la raíz cuadrada de la presión, debido al balance de energía .

Respuestas (3)

Algunos garabatos rápidos en un sobre sugieren que el volumen en la bureta variará con el tiempo según:

V = V 0 ( t 0 − t t 0 ) 2

dónde V 0 es el volumen inicial (50cc en este caso) y t 0 es el tiempo que tarda la bureta en vaciarse. Entonces la curva no es un decaimiento exponencial. En realidad es una sección de una parábola, pero desplazada a lo largo del eje del tiempo. Algunos garabatos más rápidos en Excel y obtengo un gráfico que se parece (suponiendo t 0 son 20 segundos):

Vol-Tiempo

Si hace un gráfico de ln(V) contra el tiempo con estos datos, obtiene una línea claramente no recta:

Log-Plot

Es peligroso suponer que cualquier curva que se asemeje vagamente a una exponencial sea en realidad una exponencial, aunque este es un error común entre los físicos en ciernes. Realmente necesita tener algún modelo matemático contra el cual pueda evaluar sus datos.

Esos dos gráficos son exactamente lo que obtuve, ¿te importaría mostrarme cómo llegaste a: $V=V_0(\dfrac{t_0-t}{t_0})^2
Exactamente lo que obtuve en términos de forma de todos modos.
@OllyPrice: esa es otra pregunta :-)
@OllyPrice En ese caso, intente una gráfica de registro-registro (es decir, una gráfica donde ambos ejes son logarítmicos). Una relación de ley de potencia, que es lo que sugiere John, produce una línea recta en un gráfico logarítmico.
Sin embargo, una gráfica logarítmica del volumen contra el tiempo no le dará una gráfica de línea recta porque el volumen no es proporcional a t norte para algún exponente norte . Tendrías que graficar log(volumen) contra log(( t 0 - t )/ t 0 ) para obtener la línea recta y, por supuesto, no sabría cómo hacerlo sin su modelo de cómo debería variar el volumen.
@JohnRennie ¿Cómo llamarías a la relación que se muestra en tu último gráfico? decaimiento logarítmico ?

Si graficaste en papel semilogarítmico (o, de manera equivalente, graficaste el logaritmo de la variable dependiente contra la variable independiente) y no obtuviste una línea recta (dentro de la incertidumbre), entonces no tienes una relación exponencial .

Así que pregúntese, ¿qué tan seguro está de que debe esperar un comportamiento exponencial?

De hecho, ¿qué tan seguro está de que puede distinguir una curva exponencial de una curva de ley de potencia? ¿Ha intentado graficar en papel log-log (o, de manera equivalente, graficar el logaritmo de la variable dependiente contra el logaritmo de la variable independiente)?

Si obtiene una relación lineal, excepto en una región de su gráfico, también podría sospechar un efecto sistemático no explicado.

Un gráfico log-log no funcionará en este caso

Tal vez podría mostrar los gráficos. Si al tomar el logaritmo de cada punto, no caen en línea recta, puede ser que tus datos no obedezcan realmente a un modelo exponencial, pero eso lo tienes que comprobar con la propagación de la incertidumbre. Por ejemplo, si los datos caen algo como

Puntos

y después de tomar la exponencial de los datos es como,

Linealización

entonces está bien, incluso si algunos puntos se alejan de la línea, porque los datos, junto con su incertidumbre, se ajustan de manera aceptable al modelo, que sería un logaritmo en este caso.

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