Dimensión de representaciones de Lorentz Group

De hecho, ha perdido algún tipo de unicidad de dimensión, pero no entre el vector y la representación del espinor: la representación vectorial de$\mathrm{SO}(1,3)$es irreducible, mientras que la representación tetradimensional de Dirac-spinor no lo es; es la suma de una representación de Weyl quiral izquierda y quiral derecha.

En general, las representaciones de dimensión finita del (componente conexo del) grupo de Lorentz están en biyección a las representaciones de dimensión finita de$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$. Para la relación precisa entre$\mathrm{SO}(1,3)$y$\mathfrak{su}(2)\oplus\mathfrak{su}(2)$, vea esta respuesta de Qmechanic . La teoría de la representación de$\mathfrak{su}(2)$es precisamente el del espín tal como lo conocemos y, por lo tanto, una representación de dimensión finita del grupo de Lorentz está etiquetada por dos semienteros$(s_1,s_2)$. Si se examina la forma en que$\mathfrak{su}(2)$álgebras realmente relacionadas con el álgebra de Lorentz, uno encuentra que el giro total de tal representación debe ser$s_1+s_2$.

El espacio de representación asociado a$(s_1,s_2)$es solo$\mathbb{C}^{2s_1 +1}\otimes\mathbb{C}^{2s_2+1}$, es decir, tensamos el spin-$s_i$representaciones entre sí. Por supuesto, esto te muestra que la dimensión del espacio ya no es única para una representación dada, aunque sea irreductible.

Sin embargo, esto no tiene nada que ver con la falta de compacidad del grupo de Lorentz, es simplemente porque es un poco más complicado que el "fácil"$\mathrm{SO}(3)$. Por ejemplo, el compacto$\mathrm{SU}(2)\times\mathrm{SU}(2)$comparte la misma teoría de representación de dimensión finita.

No, la pérdida de singularidad no tiene que ver con la falta de compacidad del grupo de Lorentz. El hecho de que solo haya una representación irreductible de cualquier dimensión dada es especial para el grupo.$SU(2)$(y por extensión, a$SO(3)$). No es cierto incluso para otros grupos de Lie compactos semisimples. Por ejemplo,$SU(3)$tiene dos representaciones irreducibles distintas de dimensión 3, que también resultan ser conjugadas entre sí. También tiene cuatro representaciones de dimensión 15, dos pares de representaciones conjugadas.

Con suerte, pronto aprenderá que las representaciones irreducibles de dimensión finita del grupo de Lorentz se pueden etiquetar con dos números, que corresponden (en un sentido indirecto) a las representaciones de$SU(2)$.

En general, una representación irreducible para un álgebra de Lie semisimple puede ser etiquetada por los valores de sus Casimiros independientes .$SU(2)$tiene un Casimiro independiente, por lo que solo necesita un número para especificar una representación.$SU(3)$y$SO(1,3)$tiene dos Casimiros, por lo que necesita dos números.

Y, como señaló ACuriousMind, la representación del espinor de la que estás hablando en realidad no es irreducible. Es la suma directa de dos representaciones irreducibles,$(\tfrac{1}{2},0)$y$(0,\tfrac{1}{2})$en una notación común. La representación vectorial es irreducible y está etiquetada$(\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2})$.