¿Cuál es la representación del grupo de Lorentz para un giro general?

Bien, esto no fue tan difícil de encontrar una respuesta como esperaba. Sin embargo, cualquier aclaración/crítica es bienvenida.

Weinberg básicamente da la respuesta en la sección 5.6 de su libro QFT:

Un tensor general de rango N se transforma como el producto directo de N (1/2, 1/2) representaciones de cuatro vectores. Por tanto, puede descomponerse (mediante simetrizaciones y antisimetrizaciones adecuadas y extrayendo trazas) en términos irreducibles (A,B) con A = N/2, N/2-1,... y В = N/2, N/2- 1,... . De esta forma, podemos construir cualquier representación irreducible (A,B) para la cual A + В sea un número entero. Las representaciones de espín, para las cuales A + В es la mitad de un entero impar, se pueden construir de manera similar a partir del producto directo de estas representaciones tensoriales y la representación de Dirac$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$.

Por lo tanto, no parece que haya una forma simple de unificar las representaciones para los generadores de espinores y vectores, pero se puede construir el generador para medios giros arbitrarios: tiene tantas copias de$M$según sea necesario, más una copia de$S$si es un medio entero.

Sin embargo, lo contrario no es cierto. Es decir, un campo spin-two debe transformarse con dos copias de$M$, pero hacerlo no garantiza que un objeto sea spin-two. Un contraejemplo es el tensor electromagnético$F$, que sin duda es spin-one. La diferencia radica en la capacidad de equiparar los dos generadores como resultado de las propiedades de simetría del tensor, como se explica en esta respuesta .

Aplicando esto al campo de espín 3-2, esperamos que tenga un generador de rotación que se vea esquemáticamente como$S \otimes I+ I \otimes M$. Y, de hecho, este es el caso: el equivalente de la ecuación de Dirac para spin 3/2 son las ecuaciones de Rarita-Schwinger:

$\gamma_a \psi^{a}_\mu=0$,

$(i \gamma^\rho \partial_\rho-m)\psi^{a}_\mu=0$

que se transforma como$\psi'^b _\nu=(\Lambda_\nu^\mu \otimes T^b_a) \psi_\mu^a$,

cuyos generadores son la combinación anterior de$M$y$S$.