Representación de una estructura σσ\sigma usando una firma-σσ\sigma en lógica matemática.

En lógica matemática, tengo una pregunta sobre cómo una firma- σ se relaciona con un correspondiente σ estructura que interpreta la firma- σ

En el libro de Chiswell y Hodges "Mathematical Logic", en la página 11 del capítulo Quantifer Free Logic, introducen un lenguaje LR (Lenguaje de relaciones) que tiene una firma definida como la siguiente:

[Firma (Primer pedido)- σ ]: una firma de primer orden es una tupla de 4 ( C o , F tu , R mi , r ) dónde:

(1) C o es un conjunto (posiblemente vacío) de símbolos llamados símbolos constantes ;

(2) F tu es un conjunto (posiblemente vacío) de símbolos llamados símbolos de función ;

(3) R mi es un conjunto (posiblemente vacío) de símbolos llamados símbolos de relación ;

(4) C o , F tu , R mi son disjuntos por pares;

(5) La función r toma cada símbolo s en F tu ∪ R mi a un entero positivo r ( s ) llamado rango (o *aridad) de s . Decimos que un símbolo es norte − a r y si tiene aridad norte .

Ahora, por supuesto, junto con esta firma- σ , si proporcionamos una estructura- σ , podemos entonces interpretar los símbolos de la firma σ .

De la Definición 5.5.2 (a) en la página 129 del capítulo cinco, se estipula que cada σ -estructura A consiste en un dominio que es un conjunto no vacío. Los elementos de tal dominio son los elementos de A .

¿No debería esto significar que cualquier símbolo que decidamos usar en nuestra σ firma, los elementos en el dominio de A debe representarse mediante los símbolos de la σ ¿firma? Sin embargo, en el siguiente ejemplo, estoy confundido en cuanto a cómo se respeta esta regla.

El σ d i a gramo r a pag h imagen de la estructura

En el ejemplo de la imagen dice que la firma σ d i gramo r a pag h tiene un solo símbolo: la relación binaria mi ( X , y ) .

Si este es el caso, ¿cómo puede representar los elementos en el dominio de la estructura? σ (El conjunto { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } ) usando la firma σ d i gramo r a pag h ? Dado que los elementos del conjunto no tienen expresiones correspondientes en la firma σ d i gramo r a pag h como no hay símbolos constantes para los elementos en A , ¿cómo funciona esto?

Al principio pensé que tal vez la relación binaria mi ( X , y ) representó todos los bordes del dígrafo ya que no hay que preocuparse por representar los vértices necesariamente para este ejemplo. Pero incluso si este es el caso, ¿cómo puede la firma σ d i gramo r a pag h representan los elementos pares ordenados de mi ( X , y ) cuando las variables x e y se sustituyen por elementos en el dominio { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 } y no tenemos símbolos correspondientes en nuestra firma σ d i gramo r a pag h ?

Agradecería mucho la ayuda gracias!

Respuestas (1)

Cada σ -estructura A consiste en un dominio que es un conjunto no vacío. Los elementos de tal dominio son los elementos de A .

¿No debería esto significar que cualquier símbolo que decidamos usar en nuestra σ firma, los elementos en el dominio de A debe representarse mediante los símbolos de la σ ¿firma?

No exactamente; los símbolos de la firma deben interpretarse por medio de los elementos de A :

un símbolo constante C ∈ C O se interpretará asignándole un elemento C A ∈ A como su denotación (un símbolo constante es como un "nombre")

un símbolo de relación R ∈ R mi con aridad norte = r ( R ) se interpretará como un conjunto R A ⊆ A norte , es decir, un subconjunto del producto cartesiano A × … × A ( norte veces)

etcétera.

Con respecto a σ d i a gramo r a pag h ejemplo :

Suponer GRAMO es un grafo dirigido . Los elementos del dominio de GRAMO se llaman sus vértices . La relación binaria mi GRAMO se llama la relación de borde de GRAMO , y los pares ordenados en esta relación se llaman aristas de GRAMO .

Así, los elementos del dominio de GRAMO son los vértices y el símbolo de relación (binario) mi (el único símbolo de la firma) se interpretará a través de mi GRAMO ⊆ GRAMO × GRAMO , es decir como un conjunto de parejas .

dos vértices a , b ∈ GRAMO estará "relacionado" por mi si y si ( a , b ) ∈ mi GRAMO , es decir, si y solo si están conectados por una arista.

Siendo el símbolo de la relación mi el único símbolo de la firma, tenemos :

C o = F tu = ∅

R mi = { mi }

y :

r ( mi ) = 2

porque mi es un símbolo de relación binaria.

¡Gracias! Sin embargo, todavía tengo un problema negativo. Como dijiste, un símbolo constante C es como un 'nombre' que se refiere a un objeto, que es un elemento en el dominio del conjunto A en este caso. Entonces, ¿cómo es posible expresar una relación de borde de GRAMO usando la firma σ d i gramo r a pag h , cuando la relación binaria mi ( X , y ) tiene subtérminos t 1 y t 2 cuales son los elementos del dominio A pero no tiene símbolos constantes o 'nombres' para representarlos en la firma σ d i gramo r a pag h ?
¿No tenemos que introducir un conjunto de símbolos constantes como 1 ¯ para el elemento ' 1 ' en conjunto A , 2 ¯ para el elemento ' 2 ' etc. para que luego podamos representar las relaciones de borde usando la firma σ d i gramo r a pag h correctamente como mi ( 1 ¯ , 2 ¯ ) ¿Cómo podemos decir que las relaciones de borde se pueden representar de manera efectiva en la firma usando solo esa relación binaria, cuando esa relación binaria incluye subtérminos que no tienen un 'nombre' correspondiente en la firma?
@GavanC- 1 , 2 , 3 , 4 no son términos , es decir, constantes de la lengua; son los "nombres" de los vértices usados ​​en el metalenguaje. Si desea nombrarlos en el idioma, como dice, debe agregar símbolos constantes (ver Ej.5.5.2 página 132).
@GavanC: un ejemplo de una "propiedad" de un gráfico que también puede expresar sin constantes : mi ( X , y ) → mi ( y , X ) .
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